Nuldeler

In de abstracte algebra heet een element van een ring een nuldeler als het element zelf niet 0 is en het vermenigvuldigd met een (ander) element ongelijk 0 als product 0 oplevert. Een nuldeler is als het ware een deler van 0. Onderscheiden worden linker nuldelers en rechter nuldelers al naargelang de nuldeler de linker dan wel de rechter factor in het product is. Is een element zowel linker als rechter nuldeler, dan wordt het gewoon een nuldeler genoemd. Als de vermenigvuldiging binnen de ring commutatief is, is elke linker of rechter nuldeler een nuldeler. Een element van een ring ongelijk aan nul dat noch een linker, noch een rechter nuldeler is, wordt regulier genoemd.

DefinitieBewerken

Een element   van een ring   heet een linker nuldeler als er een  , zo, dat  

Analoog heet   een rechter nuldeler als er een  , zo, dat  

Is   zowel een linker als een rechter nuldeler, dan heet a nuldeler.

VoorbeeldenBewerken

  • De ring   van de gehele getallen heeft geen nuldelers.
  • Bij het modulair rekenen vormen de getallen   een ring. Als   een priemgetal of een macht van een priemgetal is, is   zelfs een lichaam/veld en zijn er geen nuldelers. In alle andere gevallen zijn de echte delers van   nuldelers. Modulo 12 bijvoorbeeld zijn de getallen 2, 3, 4 en 6 echte delers van 12 en dus nuldelers:  
  • Een voorbeeld van een nuldeler in de ring van de 2×2-matrices is de matrix
 

omdat bijvoorbeeld

 
  • Meer in het algemeen vallen in de ring van  -matrices over een willekeurig lichaam/veld de linker en rechter nuldelers samen; zij zijn precies de niet-nulzijnde singuliere matrices. In de ring van de  -matrices over een willekeurig integriteitsdomein zijn de nuldelers precies de niet-nulzijnde matrices met determinant nul.
  • De onderstaande ring bevat met elementen die slechts eenzijdige nuldelers zijn. Laat   de verzameling zijn van rijen gehele getallen   Neem voor de ring alle additieve afbeeldingen van   op  , met puntsgewijze optelling en compositie als de ringbewerkingen. De ring is dus  , de endomorfismen van de additieve groep   Drie elementen in deze ring zijn de rechtsverschuiving   de linksverschuiving   en een projectie   Al deze drie additieve afbeeldingen zijn ongelijk aan nul, maar de composities   en   zijn beide nul, zodat   een linker nuldeler en   een rechter nuldeler is in de ring van de additieve afbeeldingen   op  . De afbeelding   is echter geen rechter nuldeler en   geen linker nuldeler. De compositie   is de identiteit, en als dus een willekeurige additieve afbeelding   van   op   voldoet aan   dan volgt   en op dezelfde wijze volgt uit   dat  
  • In het vorige voorbeeld is   een linker nuldeler, want   omdat   maar   noch een linker, noch een rechter nuldeler is, omdat  
    De additieve afbeeldingen van   naar   kunnen voorgesteld worden als aftelbaar oneindige matrices. De matrix

 

bijvoorbeeld stelt de afbeelding   voor en de getransponeerde matrix   de rechtsverschuiving   Dat   de eenheidsmatrix is, is hetzelfde als te zeggen dat   de identiteit is. De matrix   is een linker nuldeler, maar niet een rechter nuldeler.

EigenschappenBewerken

Linker en rechter nuldelers kunnen geen eenheid zijn. Immers, als   een eenheid is, dan is   voor alle  

Elke idempotente   is een nuldeler, aangezien  , dus   Nilpotente ringelementen ongelijk aan 0 zijn trivialerwijze nuldelers.

Een commutatieve ring met eenheidselement ongelijk aan 0 en zonder nuldelers wordt een integriteitsdomein genoemd.

Nuldelers komen ook voor onder de sedenionen, de 16-dimensionale hypercomplexe getallen onder de Cayley-Dickson-constructie.

Zie ookBewerken