Geheel getal van Gauss

complex getal van uitsluitend gehele getallen als delen

Een geheel getal van Gauss is een complex getal waarvan het reële- en het imaginaire deel beide gehele getallen zijn. De gehele getallen van Gauss vormen met de twee operaties, optelling en vermenigvuldiging van de complexe getallen een integriteitsdomein, dat meestal wordt weergegeven als . Zij liggen op een vierkant rooster in het complexe vlak. Er bestaat tussen de gehele getallen van Gauss geen totale ordening, aangezien hun domein de imaginaire getallen bevat.

Gehele getallen van Gauss roosterpunten in het complexe vlak

De gehele getallen van Eisenstein zijn met de gehele getallen van Gauss te vergelijken, maar zij liggen op een driehoekig rooster in plaats op een vierkant rooster.

FormeelBewerken

Formeel gedefinieerd zijn de gehele getallen van Gauss de verzameling

 

De norm van een geheel getal van Gauss is gedefinieerd als het kwadraat van de absolute waarde:

 

Door het kwadraat van de absolute waarde als norm te nemen is de norm een natuurlijk getal.

De norm is multiplicatief, wat wil zeggen dat

 

De eenhedengroep   in de ring van gehele getallen van Gauss is de cyclische groep die wordt voortgebracht door  . De groep bestaat uit de elementen   en  . Het betreft juist de gehele getallen van Gauss met norm 1.

Als een uniek factorisatiedomeinBewerken

 
Enige van de priemgetallen van Gauss

De gehele getallen van Gauss vormen een uniek factorisatiedomein met eenheden   en  .

De priemelementen van   staan ook bekend als de priemgetallen van Gauss.

Een geheel getal van Gauss   is priem dan en slechts dan als:

  •   of   gelijk is aan nul en de ander een priemgetal is van de vorm
  of zijn negatieve  
  • zowel   als   ongelijk zijn aan 0 en
  een priemgetal is.

Historische achtergrondBewerken

De ring van de gehele getallen van Gauss werd door Carl Friedrich Gauss in 1829 - 1831 geïntroduceerd,[1] als een bijproduct van zijn studie naar de reciprociteitswetten, die weer generalisaties zijn van de stelling van kwadratische reciprociteit, die door Gauss in 1796 voor het eerste werd bewezen. Gauss zocht in het bijzonder naar relaties tussen   en  , zodat   een kubisch residue van   moet zijn (dat wil zeggen  ) of zo dat   een restwaarde van het bikwadratisch residue van   moest zijn (dit is  ). Tijdens dit onderzoek ontdekte Gauss dat sommige resultaten gemakkelijker bewezen konden worden wanneer hij met de ring van gehele getallen van Gauss werkte, in plaats van met de gewone gehele getallen.

Hij ontwikkelde de eigenschappen van factorisatie en bewees de uniciteit van factoriseren in priemgetallen in  , en hoewel hij hierover weinig publiceerde, liet hij enige commentaren achter die erop duiden dat hij zich bewust van de betekenis van gehele getallen van Eisenstein in het stellen en bewijzen van resultaten op het gebied van kubische reciprociteit.

Onopgeloste problemenBewerken

Het cirkelprobleem van Gauss heeft als zodanig niet per se een relatie met de gehele getallen van Gauss, maar vraagt in plaats daarvan naar het aantal roosterpunten binnen een cirkel met een gegeven straal gecentreerd om de oorsprong. Dit is gelijkwaardig met het bepalen van het aantal gehele getallen van Gauss met een norm kleiner dan deze gegeven straal.

Er bestaan ook vermoedens en onopgeloste problemen met betrekking tot de Gauss-priemgetallen. Twee daarvan zijn:

  1. De reële en imaginaire assen hebben de oneindige verzameling van Gauss-priemgetallen 3, 7, 11, 19, ... en hun geassocieerden. Bestaan er enige andere lijnen die oneindig veel Gauss-priemgetallen op zich hebben? In het bijzonder bestaan er oneindig veel Gauss-priemgetallen van de vorm  ?[2]
  2. Is het mogelijk om naar oneindig te wandelen door gebruik te maken van de Gauss-priemgetallen als stapstenen, en door stappen van begrensde lengte te nemen?