In de wiskunde is een bilineaire vorm op een vectorruimte over een lichaam (Ned) / veld (Be) van scalairen een bilineaire afbeelding . Een bilineaire vorm is dus lineair in ieder argument afzonderlijk. Het beeld onder een bilineaire afbeelding van twee vectoren en wordt ook genoteerd met .

Het standaardinproduct is dus een bilineaire vorm, maar er zijn meer mogelijkheden. Het wordt erbij vermeld wanneer de bilineaire vorm anders is gedefinieerd dan als het standaardinproduct.

Een uitgebreidere definitie laat toe dat een afbeelding is op het cartesische product van twee verschillende vectorruimten over .

Als van de vectorruimte een basis is gegeven, wordt een bilineaire vorm geheel bepaald door de beelden van alle combinaties van twee basisvectoren.

Een bilineaire vorm op een -dimensionale ruimte wordt geheel vastgelegd door de -grammatrix van de basisvectoren, dus met elementen:

Als , waarvan de basis uit eenheidsvectoren bestaat, geldt voor twee vectoren :

Een bilineaire vorm heet ontaard als de matrix een singuliere matrix is.

Symmetrie bewerken

Een bilineaire vorm is symmetrisch als voor alle   geldt:

 

Bij de symmetrische bilineaire vorm   hoort de kwadratische vorm

 

Als de karakteristiek van   geen twee is, is er een bijectie tussen de symmetrische bilineaire vormen en de kwadratische vormen, gegeven door:

 

Symmetrische bilineaire vormen spelen een rol in de studie van orthogonale polariteit en van kwadrieken.

Voor een bilineaire vorm   op een  -dimensionale vectorruimte  definieert men de grammatrix   van een  -tal vectoren   door:

 

Generalisatie bewerken

De definitie van een bilineaire vorm kan naar modulen over een commutatieve ring worden uitgebreid, waar lineaire afbeeldingen worden vervangen door modulehomomorfismen. Als  , de complexe getallen, is men vaak meer geïnteresseerd in sesquilineaire vormen, die met bilineaire kunnen worden vergeleken, maar die in een argument geconjugeerd lineair zijn.

Websites bewerken