Bilineaire vorm

In de wiskunde is een bilineaire vorm $B$ op een vectorruimte $V$ over een lichaam (Ned) / veld (Be) $K$ van scalairen een bilineaire afbeelding $B:V\times V\to K$. Een bilineaire vorm $B$ is dus lineair in elk argument afzonderlijk:

${\begin{array}{l}{\text{1. }}B(u+u',v)=B(u,v)+B(u',v){\text{,}}\\[4pt]{\text{2. }}B(u,v+v')=B(u,v)+B(u,v'){\text{,}}\\[4pt]{\text{3. }}B(\lambda u,v)=B(u,\lambda v)=\lambda \,B(u,v){\text{.}}\\[4pt]\end{array}}$

Een uitgebreidere definitie laat toe dat $B$ een afbeelding is op het cartesisch product $V\times W$ van twee verschillende vectorruimten over $K$.

Als van de vectorruimte een basis $b$ is gegeven, wordt een bilineaire vorm geheel bepaald door de beelden $B(b_{i},b_{j})$ van elke combinatie van twee basisvectoren.

Een bilineaire vorm op een $n$-dimensionale ruimte wordt geheel vastgelegd door de $n\times n$-grammatrix $A$ van de basisvectoren, dus met elementen:

$a_{ij}=B(b_{i},b_{j})$

Als $V=K^{n}$ en de basis bestaat uit de eenheidsvectoren, geldt voor twee vectoren $x,y\in K^{n}$:

$B(x,y)=x^{\text{T}}\!\!Ay=\sum _{i,j=1}^{n}x_{i}a_{ij}y_{j}$

Een bilineaire vorm heet ontaard als de matrix een singuliere matrix is.

Symmetrie

Een bilineaire vorm is symmetrisch als voor alle $x,y\in V$ geldt:

$B(x,y)=B(y,x)$

Bij de symmetrische bilineaire vorm $B$ hoort de kwadratische vorm

$Q(x)=B(x,x)$

Als de karakteristiek van $K$ verschilt van 2, is er een een-op-eenrelatie tussen de symmetrische bilineaire vormen en de kwadratische vormen, gegeven door:

$B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w))$

Symmetrische bilineaire spelen een rol in de studie van orthogonale polariteit en van kwadrieken.

Voor een symmetrische bilineaire vorm $B$ op een eindigdimensionale ruimte is de grammatrix $A$ van een basis een symmetrische matrix.

Generalisatie

De definitie van een bilineaire vorm kan eenvoudig worden uitgebreid naar modulen over een commutatieve ring, waar lineaire afbeeldingen worden vervangen door modulehomomorfismen. Als $K=\mathbb {C}$ (de complexe getallen) is men vaak meer geïnteresseerd in sesquilineaire vormen, die vergelijkbaar zijn met bilineaire vormen, maar die conjugaat lineair in een argument zijn.

Externe link

• (en) Symmetrische bilineaire vorm op MathWorld

Zie ook

• Inwendig product
• Metrische tensor