Grammatrix

In de lineaire algebra is de grammatrix van een $n$-tal vectoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in een lineaire ruimte met inproduct $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ de hermitische matrix $G$ van de inproducten van de vectoren, waarvan de elementen gegeven worden door:

$G_{ij}=\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle \,$

Als de vectoren $v_{1},\dots ,v_{n}$ reëel zijn en de kolommen van de matrix $X$ vormen, dan is de grammatrix $G=X^{\top }X$.

De grammatrix is genoemd naar Jørgen Pedersen Gram.

Grammatrix van een bilineaire vorm

Voor een bilineaire vorm $B$ op een $n$-dimensionale vectorruimte $V$definieert men de grammatrix $G$ van een $n$-tal vectoren $v_{1},\dots ,v_{n}\in V$ door:

$G_{ij}=B(v_{i},v_{j})$

Toepassing

Een belangrijke toepassing is het nagaan van de lineaire onafhankelijkheid van een aantal vectoren. Een stel vectoren is dan en slechts dan lineair onafhankelijk als de determinant van de grammatrix ongelijk is aan nul.