Supremum

In de ordetheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het supremum, meervoud suprema, afgekort tot sup, van een deelverzameling van een partieel geordende verzameling de kleinste van alle bovengrenzen van . Het is dus mogelijk, dat het supremum van zelf geen element van is, of dat zo'n kleinste element niet bestaat. Een bovengrens is een zodanig element dat geen element in de deelverzameling groter is dan die bovengrens. Elk element in de deelverzameling is kleiner dan een bovengrens of eventueel daaraan gelijk. Suprema van verzamelingen van reële getallen zijn een veelvoorkomend speciaal geval, die vooral belangrijk zijn in de analyse.

A is een verzameling van reële getallen
 elementen van A
 bovengrenzen
De kleinste van de bovengrenzen, de rode ruit, is het supremum van A.

Het supremum heeft als duaal begrip het infimum.

DefinitieBewerken

Laat   een partieel geordende verzameling zijn met orderelatie  , en   een deelverzameling van  .

Een element   is een bovengrens van   als voor alle   geldt:  .

Een bovengrens   van   heet supremum van  , genoteerd als  , als voor elke bovengrens   van   geldt:  .

Een supremum bestaat niet in alle gevallen, maar als een supremum bestaat is het uniek en is dan de kleinste bovengrens. Als de deelverzameling   geen enkele bovengrens heeft, bestaat er geen supremum, en ook in gevallen waarin de verzameling bovengrenzen zelf geen kleinste element heeft, zoals het geval dat   de verzameling rationale getallen is en   de verzameling rationale getallen waarvan het kwadraat kleiner is dan 2.

Supremum van een verzameling reële getallenBewerken

In de analyse wordt het supremum of de kleinste bovengrens van een deelverzameling   van de reële getallen aangeduid door   en gedefinieerd als de kleinste van alle bovengrenzen van  . Een bovengrens is een getal waarvoor geldt dat elk getal in   kleiner is dan de bovengrens of eraan gelijk is. Als er niet zo'n getal bestaat (omdat   van boven niet begrensd is), definieert men  . Voor de lege verzameling is het supremum gedefinieerd als  .

Een belangrijke eigenschap van de reële getallen is dat elke verzameling van reële getallen een supremum heeft. Elke niet-lege begrensde deelverzameling van de reële getallen heeft een supremum in de verzameling van reële getallen.

Voorbeelden zijn:

 
 
 
 

Het supremum van een verzameling   wordt ook met het symbool   aangegeven:  .

WebsitesBewerken

BronvermeldingBewerken

  • (en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.