Bovengrens en ondergrens

(Doorverwezen vanaf Ondergrens)

In de wiskunde is een bovengrens of majorant van een deelverzameling van een partieel geordende verzameling een element waarvoor geldt dat voor alle . Als er een bovengrens is van , heet een naar boven begrensde deelverzameling van .

Op analoge wijze is een ondergrens of minorant van gedefinieerd als een element waarvoor geldt dat voor alle . Als er een ondergrens is van , heet een naar onder begrensde deelverzameling van .

In de analyse geldt eveneens dat een bovengrens van een functie een getal is, waarvoor geldt dat voor alle . Ook hier geldt het analoge voor de ondergrens: voor alle .

Een functie met een bovengrens heet ook naar boven begrensd. Een functie met een ondergrens heet naar onder begrensd. Een begrensde functie heeft zowel een ondergrens als een bovengrens.

Verwante begrippenBewerken

Maximum en minimumBewerken

Indien er voor een deelverzameling   van een partieel geordende verzameling   een element   bestaat zodanig dat   voor alle  , dan heet   het maximum van  . Het maximum   dient dus een bovengrens van   te zijn en tevens tot   te behoren. Men noteert:  .

Analoog is   een minimum van  , indien voor alle   geldt dat  . Hier is   dus een ondergrens die tot de verzameling behoort. Men noteert:  .

Supremum en infimumBewerken

De kleinste bovengrens van  , als deze bestaat, wordt het supremum   van   genoemd. In feite is het supremum van   het minimum van de majoranten van  :

 

Analoog wordt de grootste ondergrens van  , als deze bestaat, het infimum   van   genoemd. Het infimum van   is het maximum van de minoranten van  :

 

EigenschappenBewerken

Laat   een deelverzameling zijn van een partieel geordende verzameling  .

  • Als   bestaat, is dit maximum gelijk aan  .
  • Als   bestaat, is dit minimum gelijk aan  .
  • Als   niet naar boven begrensd is, zegt men wel dat  .
  • Als   niet naar onder begrensd is, zegt men wel dat  .

VoorbeeldenBewerken

  • Neem de deelverzameling   van  ; dan is bijvoorbeeld 12 een bovengrens van  , aangezien voor ieder getal   geldt dat  . Overigens is 9 het supremum en tevens het maximum.
  • Beschouw de volgende deelverzamelingen   van de reële getallen  .
         
  1 1 0 0
  - 1 - 0
  -   -  
  1 1 - 0
  • Neem de functie  . Elke   is een bovengrens van  . De functie heeft geen minimum, maar wel is  .

Zie ookBewerken