Lineaire variëteit

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een lineaire variëteit een lijn, vlak of hogerdimensionale soortgelijke structuur in een lineaire ruimte die niet noodzakelijk de oorsprong bevat. Het is een figuur evenwijdig aan een lineaire deelruimte van dezelfde dimensie. Men kan zich een lineaire variëteit denken als een verschoven lineaire deelruimte.

DefinitieBewerken

Zij   een vector in een lineaire ruimte   en   een lineaire deelruimte van  , dan heet de verzameling:

 

een lineaire variëteit van   die wel genoteerd wordt als  . De vector   heet steunvector van de lineaire variëteit.

Lineaire variëteiten maken het mogelijk in een lineaire ruimte lijnen, vlakken of hypervlakken, anders dan de lineaire deelruimten te beschrijven.

Voor een gegeven lineaire variëteit   is de steunvector   niet eenduidig bepaald. Elke vector   met   is ook steunvector.

VoorbeeldBewerken

In het gewone platte vlak is de lijn   door de punten (1,0) en (0,1) een lineaire variëteit van de lineaire deelruimte voortgebracht door de vector (1,-1). De punten (0,1) en (1,0) zijn beide steunvectoren. De lijn   is dus:

 

Daaruit blijkt dat de parametrisering van   gegeven wordt door:

 ,

waaruit weer de vergelijking voor   kan worden afgeleid: