Affiene groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de affiene groep of de algemene affiene groep van een affiene ruimte over een lichaam/veld de groep van alle inverteerbare affiene transformaties van die ruimte. De groepsbewerking is de functiecompositie.

De affiene groep is een lie-groep als een reëel, complex of quaternionen-lichaam/veld is.

DefinitieBewerken

Een inverteerbare affiene transformatie   van een vectorruimte   is van de vorm

 ,

met   een isomorfisme van  , en   een vast element van  .

De transformatie   is dus samengesteld uit het isomorfisme   en een translatie over de vector  .

Er geldt:

 

dus

 

en ook:

 

zodat:

 

De inverteerbare, affiene transformaties vormen dus een groep, de affiene groep of algemene affiene groep, aangeduid met  [1],  [2] of  [3].

Als   de  -dimensionale ruimte over het lichaam/veld   is, wordt de affiene groep genoteerd als  . In een context waarin   duidelijk is, wordt ook wel alleen de parameter   aangegeven, bijvoorbeeld  .

Voor eindige   met   elementen, schrijft men eenvoudigweg  , want een eindig lichaam/veld is door het aantal elementen op isomorfie na eenduidig bepaald.

De affiene groep   van de  -dimensionale euclidische ruimte met elementen   heeft een aantal belangrijke ondergroepen:

  • algemene lineaire groep   met elementen  , de oorsprong blijft op zijn plaats
  • euclidische groep   of   (de isometrieën, dus geen vervorming of vergroting/verkleining)
  • orthogonale groep   (de doorsnede van de twee: de isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft)

Verder zijn er nog de ondergroepen hiervan waarbij de determinant van de betreffende matrix 1 is[4]:

  • speciale lineaire groep,   (wel vervormingen, maar geen spiegeling en geen verandering van het  -dimensionale volume)
  • speciale euclidische groep   (de directe isometrieën; voor   zijn dit de mogelijke veranderingen van positie en stand van een star lichaam)
  • speciale orthogonale groep   (de directe isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft; voor   zijn dit de draaiingen om de oorsprong, voor   de draaiingen om een as door de oorsprong)

ReferentiesBewerken

  1. J. D. Dixon, B. Mortimer: Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), ISBN 0-387-94599-7, hfdst. 2.8: Affine and Projective Groups
  2. M. Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, Springer-Verlag (1995), ISBN 978-3-528-06565-2, p. 27
  3. R. Walter: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Vieweg (1985), ISBN 978-3-528-08584-1, p. 168
  4. In het eerste geval (waarbij de determinant elk getal ongelijk aan 0 kan zijn) is dat een grotere beperking dan in het tweede en derde geval (waarbij de determinant 1 en -1 kan zijn).