Affiene groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de affiene groep of de algemene affiene groep van een affiene ruimte over een lichaam/veld $K$ de groep van alle inverteerbare affiene transformaties van die ruimte. De groepsbewerking is de functiecompositie.

De affiene groep is een lie-groep als $K$ een reëel, complex of quaternionen-lichaam/veld is.

Definitie bewerken

Een inverteerbare affiene transformatie $f_{A,a}\colon V\to V$ van een vectorruimte $V$ is van de vorm

f_{A,a}(v)=Av+a

,

met $A\in \mathrm {GL} (V)$ een isomorfisme van $V$ , en $a$ een vast element van $V$ .

De transformatie $f_{A,a}$ is dus samengesteld uit het isomorfisme $A$ en een translatie over de vector $a$ .

Er geldt:

(f_{A,a}\circ f_{B,b})(v)=f_{A,a}(f_{B,b}(v))=f_{A,a}(Bv+b)=ABv+Ab+a=f_{AB,Ab+a}(x)

dus

f_{A,v}\circ f_{B,w}=f_{AB,Ab+a}

en ook:

f_{A,a}(v)=y\Leftrightarrow Av+a=y\Leftrightarrow v=A^{-1}y-A^{-1}a

zodat:

f_{A,v}^{-1}=f_{A^{-1},(-A^{-1}a})

De inverteerbare, affiene transformaties vormen dus een groep, de affiene groep of algemene affiene groep, aangeduid met $\mathrm {AGL} (V)$ ^[1], $\mathrm {Aff} (V)$ ^[2] of $\mathrm {GA} (V)$ ^[3].

Als $V=K^{n}$ de $n$ -dimensionale ruimte over het lichaam/veld $K$ is, wordt de affiene groep genoteerd als $\mathrm {AGL} _{n}(K)$ . In een context waarin $K$ duidelijk is, wordt ook wel alleen de parameter $n$ aangegeven, bijvoorbeeld $\mathrm {Aff} (n)$ .

Voor eindige $K$ met $q$ elementen, schrijft men eenvoudigweg $\mathrm {AGL} _{n}(q)$ , want een eindig lichaam/veld is door het aantal elementen op isomorfie na eenduidig bepaald.

De affiene groep $\mathrm {Aff} (n)$ van de $n$ -dimensionale euclidische ruimte met elementen $Ax+b$ heeft een aantal belangrijke ondergroepen:

algemene lineaire groep $\mathrm {GL} (n)$ met elementen $Ax$ , de oorsprong blijft op zijn plaats
euclidische groep $\mathrm {E} (n)$ of $\mathrm {ISO} (n)$ (de isometrieën, dus geen vervorming of vergroting/verkleining)
orthogonale groep $\mathrm {O} (n)$ (de doorsnede van de twee: de isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft)

Verder zijn er nog de ondergroepen hiervan waarbij de determinant van de betreffende matrix 1 is^[4]:

speciale lineaire groep, $\mathrm {SL} (n)$ (wel vervormingen, maar geen spiegeling en geen verandering van het $n$ -dimensionale volume)
speciale euclidische groep $\mathrm {SE} (n)$ (de directe isometrieën; voor $n=3$ zijn dit de mogelijke veranderingen van positie en stand van een star lichaam)
speciale orthogonale groep $\mathrm {SO} (n)$ (de directe isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft; voor $n=2$ zijn dit de draaiingen om de oorsprong, voor $n=3$ de draaiingen om een as door de oorsprong)

Referenties bewerken

↑ J. D. Dixon, B. Mortimer: Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), ISBN 0-387-94599-7, hfdst. 2.8: Affine and Projective Groups
↑ M. Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, Springer-Verlag (1995), ISBN 978-3-528-06565-2, p. 27
↑ R. Walter: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Vieweg (1985), ISBN 978-3-528-08584-1, p. 168
↑ In het eerste geval (waarbij de determinant elk getal ongelijk aan 0 kan zijn) is dat een grotere beperking dan in het tweede en derde geval (waarbij de determinant 1 en -1 kan zijn).

[1] J. D. Dixon, B. Mortimer: Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), ISBN 0-387-94599-7, hfdst. 2.8: Affine and Projective Groups

[2] M. Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, Springer-Verlag (1995), ISBN 978-3-528-06565-2, p. 27

[3] R. Walter: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Vieweg (1985), ISBN 978-3-528-08584-1, p. 168

[4] In het eerste geval (waarbij de determinant elk getal ongelijk aan 0 kan zijn) is dat een grotere beperking dan in het tweede en derde geval (waarbij de determinant 1 en -1 kan zijn).

[1]

[2]

[3]

[4]