Niveauverzameling

In de wiskunde is een niveauverzameling van een functie de verzameling van argumenten van , waarvoor een bepaalde waarde, een bepaald niveau heeft. Anders gezegd: een niveauverzameling van een functie is het inverse beeld van een bepaalde functiewaarde. Als een reëelwaardige functie is van variabelen, is de niveauverzameling voor het niveau gedefinieerd als

Een niveaukromme, contourlijn of isopleet is een niveauverzameling van een functie in twee variabelen, of een deel ervan: een niveauverzameling kan ook uit meerdere gesloten krommen bestaan, en/of krommen die tot het oneindige of de rand van het afgebeelde gebied lopen. Als de functie constant is binnen een niveaukromme, behoort dat gebied ook tot de betreffende niveauverzameling.

De isobaren in de meteorologie zijn een voorbeeld van contourlijnen.

TheorieBewerken

Bij drie variabelen spreekt men over een niveauoppervlak. De niveauverzameling van een functie in meer dan drie variabelen wordt door een hyperoppervlak weergegeven.

Een verzameling van de vorm

 

wordt een subniveauverzameling van   genoemd.

De volgende stelling legt verband tussen de gradiënt en een niveauverzameling.

Laat   een functie in de   variabelen   zijn. Als   differentieerbaar is, staat de gradiënt   in het punt   loodrecht op de niveauverzameling van   in   of is gelijk aan 0.

Bewijs voor  

De niveauverzameling voor   is

 

die kan worden beschreven door de impliciete functie   bepaald door de relatie:

 

Als   in   ongelijk is aan 0, heeft de raaklijn aan   de richtingscoëfficiënt:

 ,

Voor een punt   op de raaklijn geldt dus:

 ,

waaruit blijkt dat de gradient in   loodrecht staat op de niveauverzameling.

Als   in  , maar  , kan dezelfde redenering gegeven worden door verwisseling van   en  .