Voorwaardelijke verwachting

In de kansrekening geeft de voorwaardelijke verwachting of conditionele verwachting van een stochastische variabele, gegeven een gebeurtenis, aan wat de verwachting van de variabele zal zijn, als we ons beperken tot de gegeven gebeurtenis.

VoorbeeldBewerken

Het volgende eenvoudige voorbeeld maakt het begrip duidelijk.

De gemiddelde leeftijd in Nederland, de verwachte leeftijd, is vermoedelijk niet gelijk aan de gemiddelde leeftijd per provincie. De voorwaardelijke verwachting van de leeftijd voor (gegeven) een bepaalde provincie, is niets anders dan de gemiddelde leeftijd in die provincie. Zo kan voor elke provincie de voorwaardelijk verwachte leeftijd bepaald worden. Daarmee is de informatie in de verdeling van de leeftijd alvast gereduceerd tot de provincies. De gemiddelde leeftijd in heel Nederland kan nu bepaald worden als het gewogen gemiddelde van de gemiddelden voor de provincies.

In een formele beschrijving kunnen we de leeftijd met   aanduiden en de provincie met  . De verdeling van de leeftijd in de provincie Zeeland wordt dan gegeven door de voorwaardelijke verdeling van  , gegeven  :

 

De gemiddelde (verwachte) leeftijd in Zeeland is de verwachtingswaarde van deze verdeling, die we de voorwaardelijke verwachting van de leeftijd  , gegeven  , noemen:

 

Voor elke provincie   kan zo de gemiddelde leeftijd bepaald worden:

 

Duidelijk is dat deze voorwaardelijke verwachting een functie van  , de provincie, is. Als functie van de stochastische variabele   opgevat, noteren we die als:

 

en noemen die de voorwaardelijke verwachting van   gegeven  .

Dit is als functie van   weer een stochastische variabele. Het toeval bepaalt immers een willekeurige bewoner van Nederland, en daarmee de provincie waarin die woont en uiteindelijk de gemiddelde leeftijd in die provincie. Als de uitkomst   (een willekeurige Nederlander) is gevonden, neemt   de waarde   (de provincie waarin   woont) aan en neemt de voorwaardelijke verwachting van   gegeven   de waarde:

 

aan, de gemiddelde leeftijd in de provincie  .

Definitie voor discrete stochastische variabelenBewerken

In het geval van een simultane verdeling van twee discrete stochastische variabelen   en  , laat zich het begrip voorwaardelijke verwachting eenvoudig definiëren. De voorwaardelijke verwachting van   gegeven (de gebeurtenis) dat   de waarde   aanneemt, genoteerd als:

 ,

is dan niets anders dan de verwachtingswaarde van de voorwaardelijke verdeling van   gegeven de gebeurtenis  .

Door de beperking tot de mogelijkheden waarvoor   de waarde   aanneemt, kan   niet meer alle waarden aannemen, en "verandert" z'n verdeling in de voorwaardelijke verdeling. Dit heet wel voorwaardelijke verdeling, maar het is een gewone kansverdeling, waarvan de verwachtingswaarde, mits die bestaat, afhangt van de waarde  . De voorwaardelijk verwachting, gegeven   is dus een functie van  . Beschouwen we deze functie als functie van de stochastische variabele  , dan wordt de voorwaardelijke verwachting een stochastische variabele, genoteerd als:

 ,

die als   de waarde   aanneemt zelf de waarde   aanneemt. Anders gezegd: als   de uitkomst is, neemt   de waarde   aan en   de waarde  .

In het inleidende voorbeeld is   de leeftijd van een Nederlander en   de provincie waarin hij woont.

Abstracte definitieBewerken

Zij   een kansruimte,   een integreerbare stochastische variabele (een variabele waarvan de absolute waarde integreerbaar is ten opzichte van de maat  ) en   een deel-sigma-algebra die de informatie weergeeft waarover we beschikken.

Een stochastische variabele   die meetbaar is ten opzichte van   en met de eigenschap dat voor elke meetbare verzameling   geldt:

 ,

heet voorwaardelijke verwachting van   ten opzichte van  .

Hierbij is   de gewone verwachting (Lebesgue-integraal) en   de indicatorfunctie van  .

Omdat een voorwaardelijke verwachting op een nulverzameling na, uniek bepaald is, noteert men voor de (equivalentieklasse van de) voorwaardelijke verwachting meestal:

  of ook wel  .

VerantwoordingBewerken

De variabele   is uniek bepaald op een nulverzameling na (bijna overal). Dat er altijd een dergelijke variabele bestaat, kan als volgt worden aangetoond. De afbeeldingen

 
 

zijn maten op de meetbare ruimte   die absoluut continu zijn ten opzichte van de restrictie van   tot  . Wegens de stelling van Radon-Nikodym bestaan er dan dichtheden   en   met de eigenschap dat voor elke meetbare verzameling   geldt:

 
 

Het verschil   levert de gewenste variabele.

Verband met voorwaardelijke kansBewerken

De voorwaardelijke verwachting van een stochastische variabele is een veralgemening van het begrip voorwaardelijke kans. Zij   en   twee gebeurtenissen in een kansruimte, en noem

 

Dan is   een "stochastische variabele" die meetbaar is ten opzichte van

 ,

de sigma-algebra voortgebracht door de gebeurtenis  . Deze stochastische variabele is meteen de voorwaardelijke verwachting van de stochastische variabele   ten opzichte van  .

Verwachting ten opzichte van een andere variabeleBewerken

Als   en   twee stochastische variabelen zijn, noemen we voorwaardelijke verwachting van   ten opzichte van  , de voorwaardelijke verwachting van   ten opzichte van de sigma-algebra voortgebracht door  :

 

Elementaire eigenschappenBewerken

  1. De voorwaardelijke verwachting is integreerbaar, en haar verwachting is gelijk aan de verwachting van de oorspronkelijke variabele:  
  2. Als   zelf al meetbaar is ten opzichte van  , is ze (bijna overal) gelijk aan haar eigen voorwaardelijke verwachting.
  3. Als   een stijgende keten van deelstammen is, dan is de voorwaardelijke verwachting transitief:  

OnafhankelijkheidBewerken

De stochastische variabele   is onafhankelijk van de sigma-algebra   als haar voorwaardelijke verwachting bijna overal gelijk is aan een constante.

In het bijzonder is   onafhankelijk van een andere stochastische variabele   als   constant is. Deze eigenschap blijkt symmetrisch te zijn in   en  , en we zeggen dan ook simpelweg dat   en   (onderling) onafhankelijk zijn.

Algemener heet een familie stochastische variabelen   onderling onafhankelijk als ieder lid van de familie onafhankelijk is van de sigma-algebra voortgebracht door alle andere leden.

Het onafhankelijkheidsbegrip van gebeurtenissen   en   komt overeen met de onafhankelijkheid van hun indicatorfuncties   en  , opgevat als stochastische variabelen.