Hoofdmenu openen

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een meetbare functie een 'nette' functie tussen meetbare ruimten. Functies die in de wiskundige analyse worden onderzocht en die niet meetbaar zijn, worden in het algemeen als pathologisch beschouwd. Wel is meetbaarheid afhankelijk van de contekst waarin de functie gegeven is. Meetbaarheid is een relatieve eigenschap, relatief ten opzichte van gegeven systemen van deelverzamelingen van de ruimten waarvan de een door de functie in de ander wordt afgebeeld. In veel gevallen wordt meetbaarheid opgevat als lebesgue-meetbaarheid, wat meetbaarheid inhoudt ten opzichte van lebesgue-meetbare verzamelingen; dat zijn verzamelingen die op de 'gebruikelijke' manier gemeten kunnen worden.

DefinitieBewerken

Laat   een σ-algebra zijn over de verzameling   en   een σ-algebra over  , dan heet de functie    )-meetbaar als van elke verzameling in   het origineel in   ligt, dus als voor alle  

 

Als de beeldverzameling   een topologische ruimte is, zoals de reële getallen   of de complexe getallen  , dan wordt meetbaarheid stilzwijgend gerelateerd aan de borelalgebra, d.w.z. de σ-algebra gegenereerd door de open verzamelingen in  , tenzij anders wordt gespecificeerd.

VoorbeeldBewerken

Een stochastische variabele is per definitie een meetbare functie op de uitkomstenruimte met betrekking tot de σ-algebra van gebeurtenissen en de borelalgebra op de reële getallen.

Niet-meetbare functiesBewerken

In de meeste gevallen is de σ-algebra   van deelverzamelingen van het domein niet de machtsverzameling van alle deelverzamelingen. Dan zijn er ook niet-meetbare deelverzamelingen en zijn niet alle functies meetbaar. Als bijvoorbeeld   en   is een niet-meetbare deelverzameling van  , dan is de indicatorfunctie   van   een niet-meetbare functie.

Zie ookBewerken

VoetnotenBewerken