Simultane verdeling

In de kansrekening is een simultane verdeling, gezamenlijke verdeling of multivariate verdeling de (kans)verdeling van meer dan één stochastische variabele. De simultane verdeling van een aantal stochastische variabelen bepaalt de kansen op gebeurtenissen die betrekking hebben op meer dan een van de variabelen. Zo bepaalt de simultane verdeling van de twee stochastische variabelen $X$ en $Y$ bijvoorbeeld de kans op de gebeurtenis dat $X$ groter is dan $Y$.

Discrete simultane verdeling

Een discrete simultane verdeling wordt bepaald door de simultane kansfunctie van discrete stochasten. Dat is een niet-negatieve functie

$p(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n})$

waarvoor geldt

$\sum _{x_{1},\ldots ,x_{n}}p(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1$,

waarbij wordt gesommeerd over alle mogelijke waarden van $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$.

Voor de discrete simultane verdelingsfunctie $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ geldt:

$F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=P(X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})=\sum _{u_{1}\leq x_{1},\ldots ,u_{n}\leq x_{n}}f(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})$

De multinomiale verdeling is een discrete simultane verdeling.

Continue simultane verdeling

Een continue simultane verdeling wordt bepaald door de simultane kansdichtheid van continue stochasten. Dat is een niet-negatieve, stuksgewijs continue functie

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

waarvoor geldt:

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ldots \int _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,{\rm {d}}x_{n}\ldots {\rm {d}}x_{2}{\rm {d}}x_{1}=1$

Voor de continue simultane verdelingsfunctie $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ geldt:

$F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\int _{-\infty }^{x_{1}}\int _{-\infty }^{x_{2}}\ldots \int _{-\infty }^{x_{n}}f(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})\,{\rm {d}}u_{n}\ldots {\rm {d}}u_{2}{\rm {d}}u_{1}$

De bivariate normale verdeling en de multivariate normale verdeling zijn continue simultane verdelingen.

Marginale verdeling

De simultane verdeling van een aantal stochastische variabelen bepaalt ook de verdeling van elk van de variabelen afzonderlijk. Omdat een dergelijke verdeling in het discrete geval in de marge van de tabel met kansen verschijnt, wordt deze verdeling in dit verband wel aangeduid als marginale verdeling.

In het discrete geval verkrijgt men de marginale verdeling door te sommeren. Zo is de (marginale) kansfunctie van de discrete stochastische variabele $X_{1}$:

$p_{X_{1}}(x_{1})=\sum _{x_{2},\ldots ,x_{n}}p(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

In het continue geval verkrijgt men de marginale verdeling door te integreren. Zo is de (marginale) kansdichtheid van de continue stochastische variabele $X_{1}$.

$f_{X_{1}}(x_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }\ldots \int _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,{\rm {d}}x_{n}\ldots {\rm {d}}x_{2}$