Poolverwantschap (kegelsnede)

kegelsnede

In de vlakke meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, beschrijft poolverwantschap ten opzichte van een kegelsnede een wederkerige relatie tussen punten, de polen, en lijnen, de poollijnen. Die relatie is invariant voor elke projectieve transformatie van het vlak.

Pool en poollijnBewerken

 
  is poollijn van  ,   van   en   van  

Bij een gegeven een punt   en een gegeven kegelsnede   wordt de lijnenbundel door   bekeken, en meer specifiek de lijnen uit die lijnenbundel die   snijden. Op deze lijnen wordt de harmonische verwante van   gekozen bij de snijpunten met  . Deze harmonische verwanten zijn collineair; de dragende lijn   heet de poollijn van  . Andersom heet het punt   de pool van  . Deze definitie blijft geldig als de kegelsnede ontaard is in snijdende of evenwijdige rechten. Elke rechte kan beschouwd worden als poollijn van een dubbelpunt van een ontaarde kegelsnede.

EigenschappenBewerken

 
  is poollijn van  , en   van  
  • De poollijn   van een punt   dat gelegen is op een lijn l, gaat door de pool   van l.
  • De pool   van een lijn l die gaat door een punt  , ligt op de poollijn   van  .
  • Als   op de poollijn van   ligt, dan ligt   op de poollijn van  .
  • Ligt het punt   op de kegelsnede  , dan is de poollijn   van   de raaklijn in   aan  .
  • Zijn uit een punt   twee raaklijnen mogelijk aan een kegelsnede, dan is de poollijn van   de drager van de raakkoorde (het lijnstuk dat beide raakpunten verbindt).
  • Als een punt   op zijn eigen poollijn ligt, dan ligt   op de kegelsnede.
  • Als   niet het dubbelpunt is van een ontaarde kegelsnede  , dan gaat de poollijn van   door elk dubbelpunt van  .
  • Iedere rechte heeft bij een niet-ontaarde kegelsnede juist één pool.
  • Als   een cirkel is met middelpunt M, dan is de poollijn van   de lijn loodrecht op MP door het inverse punt van het punt  .

PooldriehoekBewerken

 
De diagonaaldriehoek PQR van de volledige vierhoek ABCD is een pooldriehoek van de ellips.

Een driehoek waarvan elke zijde de poollijn is van het overstaande hoekpunt ten opzichte van een kegelsnede  , heet een pooldriehoek van   en de kegelsnede een poolkegelsnede van de driehoek (zie de figuur rechts).

Is een volledige vierhoek ingeschreven in een niet-ontaarde kegelsnede  , dan is zijn diagonaaldriehoek een pooldriehoek van  .

Vergelijking van de poollijn van een punt t.o.v een kegelsnede met een canonieke vergelijkingBewerken

soort kegelsnede vergelijking kegelsnede vergelijking poollijn van P(r,s)
Cirkel    
Ellips    
Hyperbool    
Parabool    

Coördinaten van de pool van een lijn t.o.v een kegelsnede met een canonieke vergelijkingBewerken

soort kegelsnede vergelijking kegelsnede Pool van de lijn u x + v y + w = 0
Cirkel    
Ellips    
Hyperbool    
Parabool    

Vergelijking van de poollijn van een punt t.o.v een kegelsnede met een algemene vergelijkingBewerken

In een cartesisch coördinatenstelsel is de vergelijking van een kegelsnede van de vorm

 .

De poollijn van het punt   ten opzichte van die kegelsnede is de rechte   waarbij

 

Pool van een rechte t.o.v een niet ontaarde kegelsnede met een algemene vergelijkingBewerken

De coördinaten van de pool van de rechte met vergelijking   bij een niet-ontaarde kegelsnede met vergelijking

 

kunnen als volgt worden bepaald. De getallen   worden berekend uit de volgende matrixvergelijking:

 

De pool is dan het punt met coördinaten  .

Vergelijking van een poollijn, afgeleid zonder harmonische verwantenBewerken

 
Poollijn   van het punt   bij een ellips

Gegeven is de ellips met vergelijking  . Daarbij is het punt   gelegen buiten de ellips.[1]

Is nu   een raaklijn uit   aan de ellips, waarbij   het raakpunt is, dan is een vergelijking van die raaklijn:

 

Omdat het punt   op deze lijn ligt, geldt de relatie:

 

Bij de andere raaklijn uit   aan de ellips met   als raakpunt geldt overeenkomstig:

 

Uit beide laatste relaties blijkt dat de coördinaten van de punten   voldoen aan de vergelijking:

 

Aangezien dit een lineaire vergelijking is in x en y, is dit de vergelijking van de lijn door de punten  : het is de vergelijking van de poollijn   van   bij de ellips. Het lijnstuk   is de zogeheten raakkoorde bij  . Dus:

  • Ligt   buiten de ellips, dan is  , of ook   de vergelijking van de poollijn van   bij de ellips.
  • Ligt   op de ellips, dan is   de vergelijking van de raaklijn in   aan de ellips.
  • Ligt   binnen de ellips, dan is – in dit geval per definitie – de lijn   ook de poollijn van  .

Bovenstaande redenering kan analoog worden toegepast voor het afleiden van de vergelijking van de poollijn van een punt   bij een cirkel (vergelijking:  ), parabool (vergelijking:  ) en hyperbool (vergelijking:  ).[2] Dit leidt dan tot de volgende vergelijkingen van de pool- c.q. raaklijnen:

 

Zie ookBewerken

NotenBewerken

  1. D.J.E. Schrek (1959): Beknopte Analytische Meetkunde. Groningen: P. Noordhoff N.V.; par. 69 (vierde druk, 1963).
  2. Zie opvolgend de paragrafen 34, 58 en 81 in [Schrek, 1963].