Harmonische ligging

Van vier verschillende punten en die op één lijn liggen, zegt men dat de paren en harmonisch liggen ten opzichte van elkaar, als

Harmon-teilung-def.svg

Daarin staat voor de lengte van het lijnstuk .

De punten en worden harmonische verwanten ten opzichte van (c.q. bij) het puntenpaar genoemd. Ook wel: de punten scheiden de punten harmonisch.

Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding van de punten gelijk is aan .[1]

ConstructiesBewerken

Gegeven zijn de punten   en   die op één lijn liggen;   ligt in dit geval tussen   en  .
Te construeren: het punt   op de lijn   zó dat de puntenparen   en   elkaar harmonisch scheiden.

Eerste constructieBewerken

 
1e constructie
Constructiestappen[2]
1. Punt = C \\ niet op de lijn AB
2. Lijn(C, A) ; Lijn(C, B) ; Lijn(C, S)
3. PuntOp(CS) = M
4. Lijn(A, M) ; Lijn(B, M)
5. Snijpunt(AM, BC) = F ; Snijpunt(BM, AC) = E
6. Lijn(E, F)
7. Snijpunt(EF, AB) = T

Dan is T het gevraagde punt.

Tweede constructieBewerken

 
2e constructie
Constructiestappen
1. Lijn(A, B) = g
2. Cirkel(AB) = k \\ AB is middellijn, M is middelpunt
3. Loodlijn(S, g) = l \\ loodlijn in S op g
4. Snijpunt(k, l) = Q
5. Lijnstuk(M, Q) = MQ
6. Loodlijn(Q, MQ) = t \\ raaklijn in Q aan k
7. Snijpunt(t, g) = T

Dan is T de harmonisch verwante van S bij het puntenpaar (A, B).

BewijzenBewerken

Eerste constructieBewerken

De juistheid van deze constructie volgt uit de stelling van Ceva en die van Menelaos. Immers, daaruit blijkt opvolgend dat:

 

en dat:

 

Zodat  .

Tweede constructieBewerken

Met   is dan:

 

Rekening houdend met de relatie  , die geldt in de rechthoekige driehoek  , leidt dit tot:

 , zodat ook hier  .

Relatie met het harmonisch gemiddeldeBewerken

Omdat de dubbelverhouding  , volgt dat

 

zodat

 

of:

 

Dus is

 ,

wat inhoudt dat   het harmonisch gemiddelde is van   en  .

Midden van het eerste lijnstukBewerken

Als   en   harmonisch liggen en   het midden is van  , dan geldt

 ,
 .

Harmonische ligging van lijnenBewerken

Daar het begrip dubbelverhouding ook gedefinieerd is voor een vierstraal − dit is een geordend viertal coplanaire, concurrente, rechte lijnen − kan men ook harmonische ligging van zo'n vierstraal definiëren. De vierstraal   is harmonisch als zijn dubbelverhouding   gelijk is aan −1.

Volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig.

  • De vierstraal   is harmonisch.
  • De lijnen   en   liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen   en  .
  • Lijn   is harmonisch toegevoegd aan lijn   ten opzichte van de lijnen   en  .

VoorbeeldenBewerken

  • De bissectrices van twee lijnen liggen harmonisch ten opzichte van die twee lijnen.
  • Twee diagonalen van een volledige vierhoek liggen harmonisch ten opzichte van de zijden door hun snijpunt
  • De poollijn van een punt  , ten opzichte van de rechten   en   met snijpunt  , is de lijn harmonisch toegevoegd aan de lijn   ten opzichte van de lijnen  en  .

Zie ookBewerken