Eerlijk delen

Eerlijk delen (ook wel halve substitutie genoemd) is in de analytische meetkunde een techniek (algoritme) waarmee de vergelijking van een raaklijn aan een vlakke tweedegraadskromme (kegelsnede) direct uit de vergelijking van die kromme kan worden afgeleid.

Als in een standaard cartesisch coördinatenstelsel een dergelijke kromme gegeven is, waarvan de algemene vergelijking luidt:

en op die kromme ligt het punt , dan bestaat de techniek uit het toepassen van, waar mogelijk, de volgende substituties[1] in de vergelijking van de kromme:

De getallen en worden hierbij dus eerlijk verdeeld over de variabelen en : de helft van de -en wordt vervangen door en de helft van de -en wordt vervangen door .

Toepassing van bovenstaande substitutieregels op de vergelijking geeft:

of, na ordening:

De vergelijking is een vergelijking van een rechte lijn. Als het punt op de kromme ligt, gaat die lijn door dat punt. Immers, als de coördinaten van voldoen aan de vergelijking , dan voldoen ze ook aan de vergelijking .[2]

De richtingscoëfficiënt van deze lijn is:

De zo bepaalde lijn is de raaklijn aan de kromme in het punt

BewijsBewerken

Uit de algemene vergelijking   van de kromme volgt door impliciet differentiëren:

 

Ordening geeft:

 

zodat:

 

De waarde   van de afgeleide in het punt   van de kromme is dan:

 

  is gelijk aan de richtingscoefficient   van van de lijn door  . Daaruit volgt dat de lijn met vergelijking   de raaklijn is in het punt   aan de kromme.

VoorbeeldenBewerken

1. Cirkel
  en  , zodat  
Eerlijk delen levert als vergelijking voor de raaklijn  :
 
Snijpunten met de cirkel:
 
 
 
dus   is het enige gemeenschappelijke punt.
2. Parabool
  en  
Dan is:
 
Dus:
 
Deze vergelijking wordt meestal geschreven als  .
3. Hyperbool
 
Raaklijn aan de hyperbool   in het punt  
  en  
Zodat:
 
De vergelijking van de raaklijn in het punt   aan de hyperbool is dan:
 
of ook:
  of:  

Toepassing op middelpunts- en topvergelijkingBewerken

Is de zogeheten middelpuntsvergelijking van een cirkel − het middelpunt is  :

 

dan is deze vergelijking te schrijven als:

 

De vergelijking van de raaklijn in het punt   van de cirkel is dan met “eerlijk delen”:

 

of, na ordening:

 

Wordt de vergelijking van de cirkel geschreven als:

 

dan blijkt dat ook deze schrijfwijze zich leent voor “eerlijk delen”.

Dit is ook van toepassing op de middelpuntsvergelijking van een ellips en van een hyperbool.

De topvergelijking van een parabool − de top is het punt   − luidt:

  of ook:  

Uitgewerkt en op 0 herleid:

 

De vergelijking van de raaklijn in het punt   van de parabool is dan met "eerlijk delen":

 

of:

 

Waaruit blijkt dat ook bij de topvergelijking van de parabool de eerlijk-delentechniek kan worden toegepast.

PoollijnBewerken

Als het punt   niet ligt op de kegelsnede met algemene vergelijking  , dan is de rechte lijn met vergelijking   de zogeheten poollijn van   bij die kegelsnede.

Uit de theorie van de poolverwantschap bij kegelsneden volgt dat de eerlijk-delentechniek voor het bepalen van de vergelijking van een poollijn bij alle typen reële kegelsneden kan worden toegepast.

PooltheorieBewerken

Ondergenoemde auteurs presenteren de pooltheorie als een bijzondere eigenschap van kegelsneden. Men hangt de poollijn namelijk op aan het raaklijnbegrip. Zo wordt de indruk gewekt dat de pooltheorie op het fundament van de differentiaalrekening rust. Dit is historisch noch wiskundig gezien het geval. De raaklijn van een kegelsnede is immers een speciaal geval van een poollijn. Zonder gebruik van differentiaalrekening leidde Joreph Gergonne de pooltheorie af uit meetkundige dualiteit en introduceerde de woorden pool en poollijn;