Integraaltransformatie

In de wiskunde is een integraaltransformatie een transformatie van de vorm:

Daarin is de functie de bij de transformatie behorende integraalkern, ook kort met kern aangeduid.

De transformatie voegt aan een functie een andere functie toe, die voor sommige toepassingen wel geschikt is voor verdere analyse, terwijl de oorspronkelijke functie dat niet is.

Een integraaltransformatie is een lineaire afbeelding, vergelijkbaar met die in de lineaire algebra. Voor een dergelijke afbeelding laat het beeld van de vector zich ten opzichte van gekozen bases op de gebruikelijke manier schrijven als:

waarin de bijbehorende matrix van is, en en de indices zijn. Hierin is duidelijk de analogie met de bovenstaande definitie zien.

Er bestaan heel wat nuttige integraaltransformaties, corresponderend met verschillende keuzes van de integraalkern en de integraalgrenzen.

Tabel van Integraaltransformaties
Transformatie Symbool Kern t1 t2
Fourier-transformatie
Mellin-transformatie
Tweezijdige Laplace-transformatie
Laplace-transformatie
Hankel-transformatie
Abel-transformatie
Hilbert-transformatie
Identiteitstransformatie  

Indien als kern elke gegeneraliseerde functie is toegelaten, zijn alle lineaire afbeeldingen van een functieruimte naar een functieruimte integraaltransformaties (dit wordt nauwkeuriger geformuleerd in een belangrijke stelling door Schwartz).

bewerken

Bibliografie

bewerken
  • A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4