Riemann-Stieltjes-integraal

In de integraalrekening, een deelgebied van de wiskunde, is de Riemann-Stieltjes-integraal, of kort de Stieltjesintegraal een generalisatie van de Riemann-integraal. De integraal is genoemd naar de Duitse wiskundige Bernhard Riemann en de Nederlandse wiskundige Thomas Stieltjes. Stieltjesintegralen maken gebruik van een zogenaamde integrator, een functie die bepaalt hoe sterk een functiewaarde van de integrand meetelt in de integraal. De rol van de integrator kan goed begrepen worden als deze differentieerbaar is, want in dat geval speelt de afgeleide de rol van gewichtsfunctie.

In de Riemannintegraal van de functie wordt de bijdrage van een deelinterval benaderd door een rechthoek(je) met breedte en hoogte waarin een punt in het deelinterval is. De Stieltjesintegraal met integrator benadert de bijdrage van het genoemde deelinterval door een rechthoek ook met hoogte , maar met een breedte Als differentieerbaar is, kan voor deze breedte geschreven worden:

,

waaruit we kunnen zien dat de afgeleide van de integrator als gewichtsfunctie fungeert.

DefinitieBewerken

Laat de integrand   een begrensde en de integrator   een monotoon niet-dalende functie op het interval   zijn. Een verdeling   van het interval   is een eindige rij getallen van de vorm:

 .

Elk interval   heet een deelinterval van de verdeling.

Met betrekking tot de verdeling   en de integrator   is:

de Stieltjesbovensom van  

 

en de Stieltjesondersom van  

 .

Daarin zijn:

 

Riemann-Stieltjes-integraalBewerken

De integrand   heet Riemann-Stieltjes-integreerbaar ten opzichte van  , met integraal   als

 

Deze integraal wordt aangeduid door

 ,

of soms kort door

 .

Niet-monotone integratorBewerken

De Riemann-Stieltjes-integraal kan behalve voor monotoon niet-dalende integrators ook nog zinvol gedefinieerd worden voor integrators van begrensde variatie op het integratie-interval. Functies van begrensde variatie zijn het verschil van twee monotoon niet-dalende functies. Een integrator   van begrensde variatie op  , kan dus geschreven worden als  , met   en   monotoon niet-dalend. Als een functie   Riemann-Stieltjes-integreerbaar is op   ten opzichte van zowel   als   wordt de Riemann-Stieltjes-integraal ten opzichte van   gedefinieerd als:

 

Zie ookBewerken