Inwendige (topologie)

topologie

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, bestaat het inwendige van een verzameling uit alle punten van die intuïtief "niet op de rand" van liggen. Een punt dat in het inwendige van ligt noemt men een inwendig punt van

Het punt is een inwendig punt van aangezien dit punt, samen met de open bal om het punt heen, is vervat in Het punt ligt op de rand van .

Tegenover het inwendige van een verzameling staat het uitwendige, of de buitenkant van een verzameling, dat is het inwendige van het complement van deze verzameling; het bestaat uit de punten die geen deel uitmaken van de verzameling en ook niet op de rand liggen.

Het inwendige van een verzameling is een topologisch begrip, dat niet voor alle verzamelingen gedefinieerd is, maar wel voor verzamelingen die een deelverzameling van een topologische ruimte zijn. Het begrip 'inwendige' is in veel opzichten duaal aan het begrip, sluiting.

DefinitieBewerken

Het inwendige van een verzameling   is de verzameling van alle inwendige punten van   Het inwendige van   wordt aangegeven door   of   Het inwendige van een verzameling heeft de volgende eigenschappen.

  •   is een open deelverzameling van  
  •   is de vereniging van alle open verzamelingen, die vervat zijn in  
  •   is de grootste open verzameling, die vervat is in  
  • Een verzameling   is open dan en slechts dan als  
  •   (idempotentie).
  • Als   een deelverzameling is van   dan is   een deelverzameling van  
  • Een open verzameling   is dan en slechts dan een deelverzameling van   als   een deelverzameling is van  

Soms wordt de tweede of derde eigenschap hierboven genomen als de 'definitie' van de topologische inwendige.

Merk op dat ook aan deze eigenschappen wordt voldaan, als de begrippen 'inwendige', 'deelverzameling', 'vereniging', 'vervat in', 'grootste' en 'open' respectievelijk worden vervangen door 'afsluiting', 'superset', 'doorsnede', 'die bevat', 'kleinste' en 'gesloten'.

OorspronkelijkBewerken

Zij   een topologische ruimte. Het inwendige van een deelverzameling   van   is de grootste open verzameling van   die in   vervat zit.

Vaak wordt het inwendige van een verzameling genoteerd door een cirkeltje boven de uitdrukking van de verzameling:  

Het inwendige van een deelverzameling   van een topologische ruimte   bestaat altijd en kan uitgedrukt worden als de vereniging van alle open delen van   die in   vervat zitten:

 

Er is immers minstens een zo'n verzameling   (met name  ), en de vereniging van een willekeurige familie open verzamelingen is ook open.

EigenschappenBewerken

  • Het inwendige van de lege verzameling is gelijk aan de lege verzameling.
  • Voor elke verzameling   is   vervat in  

VoorbeeldenBewerken

  • In de reële getallen   is  
  • In de euclidische ruimte   is het inwendige van de verzameling   van de rationele getallen leeg.
  • Als   het complexe vlak   is, dan geldt  
  • In enige euclidische ruimte is het inwendige van een eindige verzameling gelijk aan de lege verzameling.

EigenschappenBewerken

Het inwendige is een open verzameling.

Elke open verzameling is haar eigen inwendige.

Het complement van het inwendige is de afsluiting van het complement:

 

Zie ookBewerken