Hoofdmenu openen

In de kansrekening en de statistiek is de Laplaceverdeling een continue verdeling genoemd naar Pierre-Simon Laplace. Het is de verdeling van het verschil van twee onderling onafhankelijke stochastische variabelen met dezelfde exponentiële verdeling. De verdeling wordt wel dubbel exponentiële verdeling genoemd, vanwege de vorm van de kansdichtheid die bestaat uit een exponentiële dichtheid en het gespiegelde daarvan, "rug-aan-rug", met een verschuiving van de top. De term 'dubbel exponentiële verdeling, wordt echter ook wel gebruikt voor de Gumbel-verdeling.

Laplaceverdeling
Kansdichtheid
Dichtheden van Laplaceverdelingen
Verdelingsfunctie
Verdelingsfuncties van Laplaceverdelingen
Parameters μ plaats ()
b > 0 schaal ()
Drager
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Verwachtingswaarde μ
Mediaan μ
Modus μ
Variantie
Scheefheid 0
Kurtosis 3
Entropie
Moment-
genererende functie
Karakteristieke functie
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

Inhoud

DefinitieBewerken

De Laplaceverdeling met parameters   en   is een continue kansverdeling met kansdichtheid

 .

De parameter   is de plaatsparameter en de parameter   de schaalparameter.

Een stochastische variabele met deze verdeling wordt wel Laplace -verdeeld genoemd.


Er is een zekere overeenkomst met de normale verdeling. De normale verdeling is uitgedrukt in de kwadratische afstand tot het midden, terwijl de Laplace-verdeling is uitgedrukt in de absolute afstand tot het midden.

EigenschappenBewerken

Voor een stochastische variabele   die Laplace -verdeeld is, geldt:

Verwachtingswaarde, mediaan en modusBewerken

De parameter   is zowel de verwachtingswaarde, de mediaan als de modus:

 

VariantieBewerken

De variantie wordt bepaald door de parameter  :

 

KurtosisBewerken

De (exces) kurtosis van een Laplaceverdeling is gelijk aan 3.

 

Immers

 

Momentgenererende functieBewerken

De momentgenererende functie is

 
 
 
 
 
 , voor  

Karakteristieke functieBewerken

Die karakteristieke functie is:

 
 
 .

EntropieBewerken

De entropie (in nat) bedraagt

 .

Verband met andere verdelingenBewerken

Voor een stochastische variabele   die Laplace -verdeeld is, geldt:

  is Laplace -verdeeld..
  is exponentieel verdeeld met verwachtingswaarde  

Als   onafhankelijk is van en gelijkverdeeld is als  , is

  F-verdeeld met 2 vrijheidsgraden in de teller en 2 vrijheidsgraden in de noemer.

Voor een aselecte steekproef   uit de Laplace -verdeling, geldt:

  is chi-kwadraatverdeeld met   vrijheidsgraden.

Als   een aselecte steekproef vormen uit de N(0,1)-verdeling, is:

  Laplace(0,1)-verdeeld.

Als   en   onderling onafhankelijk zijn en beide exponentieel verdeeld met   en  , is

  Laplace(0,1)-verdeeld.

Als   en   onderling onafhankelijk zijn en beide uniform verdeeld op het interval (0,1), is

  Laplace(0,1)-verdeeld.