Injectie (wiskunde)

wiskunde
(Doorverwezen vanaf Injectiviteit)

In de wiskunde is een injectie of injectieve afbeelding, ook eeneenduidige afbeelding of een-op-eenafbeelding genoemd, een afbeelding, waarbij geen twee verschillende elementen hetzelfde beeld hebben, dus anders gezegd ieder beeld een uniek origineel heeft. De definitie is voor functies hetzelfde. Een injectie is dus een relatie tussen twee verzamelingen. Twee andere soorten relatie, die aan overeenkomstige eigenschappen voldoen, zijn de surjectie en de bijectie.

Injectieve functie, die niet surjectief is

De aanduiding 'injectieve afbeelding' werd geïntroduceerd door Bourbaki.

Definitie

bewerken

De afbeelding   heet een injectie of injectieve afbeelding als voor alle   geldt:

 

Voorbeeld en tegenvoorbeeld

bewerken
  • Beschouw de afbeelding  , gedefinieerd door  . Deze afbeelding is een injectie, aangezien uit de gelijkheid van de beelden van   en  :  , volgt dat de originelen   en   gelijk zijn.
  • Beschouw daarentegen de afbeelding  , gedefinieerd door  . Deze is niet injectief, omdat bijvoorbeeld  , dus er verschillende originelen zijn met hetzelfde beeld.

Eigenschappen

bewerken

Voor de gegeven afbeeldingen en functies   is   steeds het domein van  .

  • Zijn twee functies   en   injectief, dan geldt dit ook voor de samengestelde functie  .
  • Gegeven dat   injectief is, dan is ook   injectief.
  • Een functie   is injectief dan en slechts dan als voor iedere verzameling   en ieder tweetal functies   de logische implicatie   geldt. Dit betekent dat, in de categorie van verzamelingen en functies, de monomorfismen precies de injectieve functies zijn.
  • Een functie   is injectief dan en slechts dan als er een functie   bestaat, met de eigenschap dat  . Hier wordt met   de identieke afbeelding op   bedoeld.
  • Als   injectief is, dan is  , dat wil zeggen dezelfde functie, waarin alleen het codomein   is vervangen door het beeld  , bijectief. Hier is dus in ieder geval  .
  • Voor twee verzamelingen   en   wordt de notatie   wel gebruikt om aan te geven dat er een injectie   bestaat. In dit geval heeft   minstens evenveel elementen als  . Om hierover voor oneindige verzamelingen iets te kunnen zeggen wordt de kardinaliteit ingevoerd. Als er een injectie   en een injectie   bestaan, is er volgens de stelling van Cantor-Bernstein-Schröder ook een bijectie tussen   en  .