Stelling van Cantor-Bernstein-Schröder

In de axiomatische verzamelingenleer doet de stelling van Cantor-Bernstein-Schröder een uitspraak over de gelijkmachtigheid van twee verzamelingen. De stelling zegt namelijk dat als er tussen twee verzamelingen zowel een injectieve afbeeldingen van de ene in de andere verzameling is en ook van de andere in de ene, er een bijectieve afbeelding is tussen de beide verzamelingen, en de verzamelingen dus gelijkmachtig zijn. De stelling is genoemd naar Georg Cantor, Felix Bernstein en Ernst Schröder'

StellingBewerken

Laat   en   injectieve afbeeldingen zijn tussen de verzamelingen   en  . Dan bestaat er een bijectieve afbeelding  .

In termen van kardinaliteit van de twee verzamelingen betekent dit:

 

Van de verzamelingen   en   wordt in dat geval gezegd dat zij gelijkmachtig zijn. Dit is uiteraard een zeer nuttige eigenschap in de ordening van kardinaalgetallen.

BewijsBewerken

Het volgende bewijs is geparafraseerd naar Thomas Jech.[1] Noem   en  . Dan is   en  . Het volstaat dus de stelling te bewijzen voor   met   een bijectie van   naar  .

Noem   en definieer recursief voor   de verzamelingen   en  . Dan kan men nagaan dat de volgende functiedefinitie de gezochte bijectie levert:

 

ReferentiesBewerken