Hoofdmenu openen

Injectie (wiskunde)

wiskunde
(Doorverwezen vanaf Injectief)
Een injectieve, niet surjectieve functie

In de wiskunde is een injectie of injectieve afbeelding, ook eeneenduidige afbeelding of een-op-eenafbeelding genoemd, een afbeelding, waarbij geen twee (verschillende) elementen hetzelfde beeld hebben, dus anders gezegd elk beeld een uniek origineel heeft.

De term 'injectieve afbeelding' werd geïntroduceerd door Bourbaki.

DefinitieBewerken

De afbeelding   heet een injectie of injectieve afbeelding als voor alle   geldt:

 

Voorbeeld en tegenvoorbeeldBewerken

  • Beschouw de afbeelding  , gedefinieerd door  . Deze afbeelding is injectief, aangezien uit de gelijkheid van de beelden van   en  :  , volgt dat de originelen   en   gelijk zijn.
  • Beschouw daarentegen de afbeelding   , gedefinieerd door  . Deze is niet injectief, omdat bijvoorbeeld   en er dus verschillende originelen zijn met hetzelfde beeld.

EigenschappenBewerken

  • Zijn twee functies   en   injectief, dan geldt dit ook voor de samengestelde functie  .
  • Uit de injectiviteit van   volgt dat   injectief is.
  • Een functie   is injectief dan en slechts dan als voor iedere verzameling   en ieder tweetal functies   de implicatie   geldt. Dit betekent dat, in de categorie van verzamelingen en functies, de monomorfismen precies de injectieve functies zijn.
  • Een functie   is injectief dan en slechts dan als zij een linksinverse heeft, dat wil zeggen een functie   met de eigenschap dat   (hier wordt met   de identiteitsfunctie bedoeld).
  • Als   injectief is, dan is de co-restrictie   (dat wil zeggen dezelfde functie, alleen het codomein is vervangen door het beeld  ) bijectief.
  • Voor twee verzamelingen   en   wordt de notatie   wel gebruikt om aan te geven dat er een injectie   bestaat. In dit geval heeft   minstens evenveel elementen als  ; voor oneindige verzamelingen wordt dit precies gemaakt met het begrip kardinaliteit. Als er twee injecties   en   bestaan, garandeert de stelling van Cantor-Bernstein-Schröder dat er eveneens een bijectie tussen   en   bestaat.

Zie ookBewerken