Hoofdmenu openen
Een massa aan een veer beschrijft een harmonische oscillatie, die kan worden gedempt door het omringende medium (dat wordt verwaarloosd in de animatie).

Een harmonische oscillator is een oscillator waarvan de tijdsevolutie wordt beschreven door een sinusoïdale functie en waarvan de frequentie enkel afhangt van de karakteristieken van het systeem. Het belang van zulk een model bestaat erin dat het een beschrijving geeft van om het even welk systeem in de nabijheid van een stabiel evenwichtspunt. Hierdoor is het van groot belang in velerlei domeinen, zoals de mechanica, kwantummechanica, elektriciteitsleer en elektronica en de optica.

Voor de harmonische oscillator in de kwantummechanica zie Impulsoperator.

Algemene beschouwingen en classificatieBewerken

Bij een harmonische oscillator treedt een kracht op die wordt beschreven door de wet van Hooke:

 ,

waarin   de kracht,   de afstand tot het evenwichtspunt en   een positieve constante die afhangt van het systeem onder beschouwing.

Indien deze Hookekracht de enige is die in het systeem werkt, wordt het systeem een eenvoudige harmonische oscillator genoemd. De beweging is harmonisch: ze volgt een sinusoïdale functie rond het evenwichtspunt met een constante amplitude en frequentie (die onafhankelijk zijn van elkaar).

Indien ook een wrijvingskracht (demping) aanwezig is, evenredig met de snelheid, dan heeft men te maken met een gedempte oscillator. In zulk een situatie is de frequentie van de oscillatie kleiner dan in het ongedempte geval en de amplitude van de beweging neemt af met de tijd.

Indien een externe, tijdsafhankelijke kracht aanwezig is, dan noemt men het systeem een gedwongen oscillator.

De meest algemene harmonische oscillator voldoet aan de volgende differentiaalvergelijking:

 ,

waarin   de uitwijking van het systeem is,   de massa,   de wrijving,   de constante van Hooke en   een externe kracht die op het systeem inwerkt.

BewegingBewerken

Eenvoudige oscillatorBewerken

Een eenvoudige harmonische oscillator is een systeem zonder wrijving en zonder uitwendige kracht. deze wordt dus beschreven door de vergelijking

 

Uit de wetten van Newton weten we dat

 

met   de versnelling, zodat we de volgende lineaire differentiaalvergelijking bekomen:

 

Oplossingen van lineaire differentiaalvergelijkingen kunnen gemakkellijk gevonden worden door exponentiële functies van de vorm:

 

met grondtal   te substitueren. De waarde van   is de uitwijking op  . De afgeleiden van deze functies zijn:

 

zodat we na substitutie voor de oplossing van   voor   vinden:

 

De oplossingen hiervan zijn sinusoïdale functies:

 

de reële oplossing kan geschreven worden als:

 

We zien dus dat het systeem beweegt met pulsatie en frequentie

 

Gedempte oscillatorBewerken

Indien een demping aanwezig is (bijvoorbeeld als het systeem trilt in een vloeistof of in een niet te ijl gas), zal de oscillerende beweging niet eeuwig kunnen blijven doorgaan doordat het systeem energie zal dissiperen. Een wrijvingskracht wordt in regel beschreven door een uitdrukking als

 

met   de grootte van de demping en   de snelheid. Deze term moet bij de differentiaalvergelijking van de vorige paragraaf moet worden gevoegd, zodat we krijgen:

 

Substitutie van de exponentiële functie levert de oplossingen:

 

De oplossingen hiervan hangen af van of de uitdrukking   positief of negatief is.

 
Het verloop van de beweging van een ondergedempte harmonische oscillator.

Indien deze uitdrukking negatief is (wat geldt als de demping voldoende klein is, met andere woorden in het ondergedempte geval), definieer dan ω

 

De oplossingen van de differentiaalvergelijking zijn dan

 

We zien dat het systeem oscilleert (aangezien de tweede factor cosinus- en sinusfuncties bevat) maar ook wordt gedempt (de eerste factor is een dalende exponentiële functie). De pulsatie in het licht gedempte geval is blijkbaar ook kleiner dan in het ongedempte geval.

Indien echter   positief is (dus: grote demping of overdemping), dan definiëren we de volgende parameters:

 

De beweging wordt in dit geval beschreven door:

 

Het systeem zal dus zonder oscillaties naar het evenwichtspunt terugkeren.

In het geval dat   juist gelijk is aan  , dan geldt dat   en  . In dat geval heeft men het over kritische demping waarin het systeem eveneens zonder oscillaties naar het evenwichtspunt zal terugkeren:

 

Gedwongen oscillatorBewerken

Het probleem van een harmonische oscillator met algemene externe kracht heeft veel oplossingen. In de praktijk wordt echter het vaakst naar de oplossing met een sinusoïdale dwang gekeken:

 

In het algemeen wordt de beweging van zulk een systeem beschreven door een som van gedempte oscillaties met een limietbeweging. De gedempte oscillatie is exact dezelfde als die bij de ongedwongen oscillator. Na een zekere tijd zal deze altijd klein worden en verwaarloosbaar zijn. Voor grote tijden hebben we dus enkel de limietbeweging over. Deze wordt beschreven door

 

met

 

of met een complexe amplitude als:

 

We zien dus dat de beweging een oscillatie is met dezelfde hoeksnelheid als de dwangkracht. De fase van de oscillator verschilt echter van die van de dwang met een waarde φ.

 
Responsfunctie van een gedempte harmonische oscillator

De amplitude van de gedwongen oscillatie hangt af van de hoeksnelheid van de dwang. Als de demping klein is dan is   zodat  . Als we de mechanische kwaliteitsfactor   definiëren als:

 

dan kan de amplitude uitgedrukt worden als:

 

waarin   bepalend is voor de sterkte van de resonantie. De amplitude is het grootst indien bij de resonantiefrequentie.

 

De amplitude van de resonantie bij de ongedempte resonantiefrequentie   is:

 

De amplitude van de resonantie is voor lichte demping ongeveer gelijk aan de kwaliteitsfactor terwijl de faseverschuiving   is. Voor kritische demping geldt   of   waarbij de resonantiefrequentie   naar nul daalt.

VoorbeeldenBewerken

 
Een massa aan een veer beschrijft een harmonische oscillatie, hier met een zekere demping.

Mechanische oscillaties bij de veerBewerken

De kracht die een veer uitoefent op een lichaam wordt juist beschreven door de wet van Hooke. Een massa die aan een veer is bevestigd en die vrij kan trillen, zal dus een harmonische beweging beschrijven. De functie   die de afstand tot het evenwichtspunt (de veer heeft zijn natuurlijke lengte) beschrijft, is dus sinusoïdaal. De periode hangt enkel af van de massa   van het lichaam en van de veerconstante  , niet van de amplitude:

 
Een torsieslinger in actie.

Mechanische oscillaties bij de torsieslingerBewerken

Een torsieslinger bestaat uit een horizontale staaf met massa's aan de uiteinden, die is opgehangen aan een torsiedraad of die rust op een torsiestaaf. Deze torsiedraad kan worden verwrongen over een zekere hoek   en geeft hierdoor een tegenkracht –Cθ. Dit is dus weer een Hookewet, zodat de hoek   een harmonische beweging zal volgen. Noemen we   het traagheidsmoment van de slinger (dat hier dienstdoet als "massa"), dan wordt de periode van de beweging geven door

 
 
Parallelle RLC-schakeling.
 
RLC-schakeling in serie.

Elektrische oscillatiesBewerken

Elektrische schakelingen kunnen eveneens harmonische oscillaties vertonen. Het typevoorbeeld hiervan is het RLC-circuit, dat bestaat uit een spanningsbron, een weerstand  , een spoel met inductie   en een condensator met capaciteit  . Deze drie componenten kunnen in parallel of in serie worden geschakeld. In beide gevallen krijgt men een harmonische oscillator, maar de parameters zijn verschillend:

Veer RLC in serie RLC in parallel
uitwijking   lading   spanning  
snelheid   stroom    
massa   inductie   capaciteit  
veerconstante   elastantie   susceptantie  
weerstand   weerstand   geleidbaarheid  
dwangkracht   dwangspanning   dwangstroom  
Ongedempte frequentie  
     
Differentiaalvergelijking
     

De harmonische oscillator als modelBewerken

Slechts weinig systemen zijn werkelijk harmonisch. In de buurt van een stabiel evenwicht, echter, kunnen bijna alle systemen in zekere mate worden benaderd door een harmonische oscillator. Stel bijvoorbeeld dat de energie   van een systeem afhangt van een zeker parameter  , dan kunnen we rond het evenwichtspunt   schrijven:

 

waarbij de lineaire term in de Taylorreeks werd weggelaten omdat x0 een evenwichtspunt is. De kracht wordt gegeven door

 

Als de tweede term en de termen in de puntjes voldoende klein zijn (wat het geval is als we ons niet te ver van   begeven), kunnen we ze verwaarlozen en blijft er een harmonische oscillator over. De Hookeconstante wordt gegeven door

 

of dus door de buiging van de potentiaal in het evenwichtspunt.

De slingerBewerken

 
Een slinger kan worden benaderd als een harmonische oscillator, zolang de uitwijking maar niet te groot wordt.
 
De exacte potentiaal van de slinger (blauw) en de potentiaal van de benaderde harmonische oscillator (rood).

Een slinger bestaat uit een massa   die wordt opgehangen aan een touw. Noemen we de hoek van uitwijking  , dan vinden we dat de potentiële energie door de zwaartekracht gelijk is aan

 

waarbij   de valversnelling is. We hebben dus

 

waar we hebben gebruikt dat de sinus van   ongeveer gelijk is aan   zelf als die hoek voldoende klein is. We hebben dus een harmonische oscillator met  . De frequentie is gelijk aan

 

De frequentie hangt in deze benadering dus niet af van de amplitude.

Deze benadering blijkt redelijk goed op te gaan als   kleiner is dan zo'n 20°. Dan is de fout die we maken rond de 1%.

CirkelbewegingBewerken

 
De harmonische oscillator vanuit een cirkel

Een harmonische oscillator kan beschreven worden door de projectie P op een middellijn te volgen van een punt M dat met constante hoeksnelheid over een cirkel beweegt. Als   de beginhoek met de loodlijn op de middellijn is,   e hoeksnelheid en   de straal van de cirkel, dan is

 

Dezelfde vergelijking komt ook voor bij een harmonische trilling waarbij dan

  de fasehoek is
  de pulsatie en
  de amplitude.