Impulsoperator

De impulsoperator in de kwantummechanica

Kwantummechanica
Onzekerheidsrelatie
Algemene inleiding...
Wetenschappers

waarin de nabla is, correspondeert met de impuls

in de klassieke mechanica. De impulsoperator wordt gebruikt in het hamiltonformalisme. De hamiltoniaan van een klassiek deeltje kan vertaald worden in de hamiltoniaan van een kwantumdeeltje door substitutie.

De hamiltoniaan van een deeltje met kinetische energie T = ½ . m . v² en potentiële energie U is klassiek

zodat de hamiltoniaan in de (niet-relativistische) kwantummechanica is

.

TheorieBewerken

Klassiek volgt uit de hamiltoniaan   de bewegingsvergelijking in één dimensie

 

waarin F de kracht op een deeltje is.

Kwantummechanisch bepaalt   in de tijdonafhankelijke schrödingervergelijking de golffunctie   van een deeltje met energie E

 .

De schrödingervergelijking is in de kwantummechanica wat de eerste wet van Newton is in de klassieke mechanica.

De impulsoperator   is in overeenstemming met de de Broglie's vergelijking   waarin   het golfgetal is van een deeltje. De golffunctie heeft de vorm   dus

 ;

  is de eigenwaarde van de operator  .

In drie dimensies is de theorie hetzelfde.   en   zijn dan vectoren en   is de nabla operator.

ToepassingenBewerken

TunneleffectBewerken

Laat vrije elektronen, U=0, met energie E op een potentiaal barrière V>E stuiten.

 
 

Voor x<0 is de schrödingervergelijking

 

een golfvergelijking met oplossing

 .

Omdat   voor   is het geen acceptabele golffunctie maar wel bruikbaar om reflectie en transmissie te berekenen.   is geen kwantummechanische beschrijving van een elektron maar van een elektronbundel.

Voor x>0 is de schrödingervergelijking

 

met oplossing

 .

C=0 zodat   voor  . De twee oplossingen moeten in x=0 glad aan elkaar passen:

 .

Daaruit volgt:

 .

  dus er is totale reflectie van de bundel.   is een staande golf.

  dus er is penetratie van de bundel. Elektronen hebben een exponentieel afnemende kans   te komen in x>0 die klassiek ontoegankelijk is.

Harmonische oscillatorBewerken

Een elektron waarop een kracht -sx werkt bij uitwijking x van het evenwichtspunt x=0 slingert met frequentie  . De potentiële energie U=½sx² dus de hamiltoniaan in de kwantummechanica is.

 .

De tijdonafhankelijke schrödingervergelijking heeft alleen acceptabele oplossingen voor de golffunctie   als de elektronenergie E waarden heeft

 

De bijbehorende golffuncties zijn:

 

De functies Hn zijn Hermite polynomen:

 

De eerste twee golffuncties zijn:

 ,
 .

Hieruit blijken twee dingen:

  • De mogelijke E-waarden een discreet spectrum vormen. Klassiek kan het elektron alle waarden E=½sa² hebben (a is de slingeramplitude).
  • In de grondtoestand het elektron niet in rust is,   is niet 0. Klassiek is x=p=0 als de slinger in rust is, maar volgens Heisenberg bestaat die toestand niet. Er is een kans   dat x van 0 verschilt.

WaterstofatoomBewerken

In het waterstofatoom is de hamiltoniaan van het elektron in het Coulombveld van de kern klassiek

 

en dus kwantummechanisch

 .

Voor de oplossing van de tijdonafhankelijke schrödingervergelijking.