Hoofdmenu openen

Het (massa)traagheidsmoment geeft de mate van verzet tegen verandering van draaisnelheid van een lichaam met een zekere massa.

Een object met een zekere uitgebreidheid ten opzichte van een gekozen rotatie-as, verzet zich tegen verandering van de draaisnelheid om die as. De mate waarin dit gebeurt wordt uitgedrukt in het (massa)traagheidsmoment ten opzichte van die rotatie-as.

Om de snelheid van draaien te veranderen moet een krachtmoment worden uitgeoefend (soms draaimoment genoemd). De verhouding tussen dit krachtmoment en de resulterende hoekversnelling is het massatraagheidsmoment ten opzichte van de rotatie-as.

.

Daarin is:

  • het krachtmoment, een vector (in Nm)
  • het massatraagheidsmoment, een getal (in kg·m²)
  • de hoekversnelling, een vector (in rad/s²)

Het traagheidsmoment is het analogon (overeenkomstig begrip) van het begrip 'trage massa', dat de mate van verzet tegen lineaire versnelling uitdrukt, zoals weergegeven in de tweede wet van Newton: . Het traagheidsmoment is zowel afhankelijk van de totale massa als van de verdeling van deze massa; hoe verder een deel van de massa verwijderd is van de rotatie-as, hoe groter de bijdrage van dat deel aan het traagheidsmoment. Voor puntmassa's mi op respectievelijk afstanden ri van de rotatie-as is het traagheidsmoment I de som van de aparte traagheidsmomenten:

.

Nu zijn puntmassa's meestal slechts idealiseringen en wordt een object beschreven door zijn massaverdeling m(r) (de massa als functie van de plaats r) of door de dichtheid ρ, die ook van r kan afhangen. Het traagheidsmoment is dan gegeven door:

waarbij de loodrechte afstand tot de draaias voorstelt en de massadichtheid is.

Algemeen geldt:

waarbij de afstand is van punt tot de draaias.

Inhoud

Verband met het impulsmomentBewerken

Het impulsmoment van een star, roterend object verandert volgens

 

met het verband tussen de hoekversnelling en hoeksnelheid  

 

volgt door gelijkstellen aan de uitdrukking voor het krachtmoment

 .

Daarin is:

  •   het impulsmoment, een vector ( in N·m·s);
  •   de tijd (in s), een scalar;
  •   het krachtmoment, een vector (N·m);
  •   de hoekversnelling, een vector (in rad/s²)
  •   de hoeksnelheid, een vector (in rad/s)
  •   het traagheidsmoment, een scalar (in kg·m²)

Zie ook rotatie (eendimensionaal).

Traagheidsmoment als tensorBewerken

Als de rotatieas een as van rotatiesymmetrie is, zoals in bovenstaande uitdrukking voor het impulsmoment, dan is het traagheidsmoment een scalar, dat wil zeggen een evenredigheidsfactor tussen de impulsmomentvector   en de rotatievector  , die parallel staan.

Roteert het lichaam niet ten opzichte van de traagheidsas, dan moet het verband tussen impulsmomentvector en de rotatievector uitgedrukt worden als een traagheidstensor en kan men het traagheidsmoment voor elke willekeurige draairichting in één grootheid uitdrukken:

 

Deze traagheidstensor kan voor bewegingen in drie dimensies geschreven worden als een tensor bestaande uit 3×3=9 getallen en geeft dan de drie componenten van het traagheidsmoment L in het gekozen assenstelsel.

 ,

waarbij in een cartesisch coördinatenstelsel met het zwaartepunt van het lichaam als oorsprong voor een star lichaam, bestaande uit N puntmassa’s:

 
 
 
 
 
 

Altijd geldt:  ,  , en  .

  is dus een symmetrische tensor. Voor continue massaverdelingen moeten deze sommaties vervangen worden door integralen. Vallen de gekozen coördinaatassen samen met de traagheidsassen (waarvan er altijd minstens drie bestaan), dan zijn de niet-diagonale elementen van de tensor gelijk aan nul. Het product van de diagonale tensor   en de rotatievector   resulteert dan in een   die parallel is aan  . Een rotatiesymmetrieas is altijd een traagheidsas.

  Zie ook rotatie (algemeen)

Traagheidsmomenten van diverse lichamenBewerken

Afbeelding Beschrijving Traagheidsmoment(en)
  Een puntmassa op afstand   van de draaias.  
  Een cilindermantel die om zijn (cilinder)as draait.  
  Een massieve cilinder (staaf, schijf) die om zijn as draait.  
  Een holle cilinder die om zijn as draait.  [1]
(m: massa van de holle cilinder)
  Een massieve cilinder die roteert om de symmetrieas die de cilinderas in het midden loodrecht doorsnijdt.  
  Een cilindermantel, die roteert om de symmetrieas die de cilinderas in het midden loodrecht doorsnijdt.  
  Een dunne staaf die draait om de symmetrieas die de cilinderas in het midden loodrecht doorsnijdt. (Merk op dat deze formule een benadering is van de cilinder met de aanname dat  )  
  Een dunne staaf die draait om een van zijn uiteinden.  
  Een holle bol met verwaarloosbare dikte en een draaias door het middelpunt.  
  Een massieve bol met een draaias door het middelpunt.  
  Een plaat met lengtes   en  ,en draaias loodrecht op de plaat (vergelijk dunne ronde staaf).  
Dunne schijf met straal   en massa   (gelijk aan massieve cilinder).  
 
  Circulaire kegel met straal  , hoogte   en massa  , die draait om z'n as.  
 
massieve balk, hoogte  , breedte  , dikte   en massa   (vergelijk plaat).  
 
 

Het traagheidsmoment om een andere as kan bepaald worden via de stelling van Steiner.

Voorbeelden van berekeningenBewerken

Massieve cilinderBewerken

 
Traagheidsmoment van een massieve cilinder

Een massieve, homogene cilinder heeft lengte  , straal   en dichtheid  . Het traagheidsmoment   om zijn as kan berekend worden door de bijdragen van de kokers met schildikte   en straal   te integreren. Voor het (infinitesimale) volume van zo'n koker geldt:

 .

Het traagheidsmoment is dan:

 

De massa van de massieve cilinder bedraagt

 

Samen levert dit op

 

Dunne staaf en draaiingsas haaks op middenBewerken

 
Traagheidsmoment van een dunne staaf met haakse draaiingsas

Een homogene staaf ter lengte   en doorsneeoppervlak   kunnen we als een rol koekjes opgebouwd denken uit schijfjes. Het traagheidsmoment   om de draaiingsas kan berekend worden door de bijdragen van de schijfjes met dikte   te integreren. Voor het (infinitesimale) volume van zo'n schijfje op een afstand   van de as geldt:

 .

Het traagheidsmoment is dan bij benadering:

 

De massa van de massieve staaf bedraagt

 

dus

 

Massieve bolBewerken

 
Traagheidsmoment van een massieve bol

Het traagheidsmoment van een massieve bol met massa m en straal R om een willekeurige as door het middelpunt wordt als volgt gevonden. Stel dat Oz de draaiingsas is. Voor de afstand   van het punt r = (x,y,z) tot de as Oz geldt

 .

Het traagheidsmoment   om de z-as wordt gegeven door:

 ,

waarbij geïntegreerd wordt over de massieve bol. Dat kan eenvoudig door te bedenken dat we bolsymmetrie hebben, zodat de traagheidsmomenten om alle assen gelijk zijn:

 

Dan

 

met   het kwadraat van de afstand van het punt r tot de oorsprong. De integratie is het makkelijkst in bolcoordinaten. Het volume-element is gelijk aan

 

terwijl   loopt van 0 tot  . Dan volgt

 

OppervlaktetraagheidsmomentBewerken

  Zie Oppervlaktetraagheidsmoment voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De term traagheidsmoment wordt ook wel gebruikt voor het oppervlaktetraagheidsmoment dat de weerstand tegen doorbuiging bepaalt. Het oppervlaktetraagheidsmoment (dimensie: lengte tot de vierde macht) wordt gebruikt bij sterkteberekeningen aan constructies. Een andere term is de kwadratische oppervlaktemoment.

NotenBewerken

  1. Het traagheidsmoment van een holle cilinder kan als volgt bepaald worden:  
Grootheden en eenheden in de (klassieke) mechanica
lineaire/translatie grootheden
Wat meten tijdsintegralen? 'nabijheid' ('nearness') 'verheid' ('farness')
Dimensie L−1 1 L L2
T9 presrop (Engels)
m−1·s9
absrop (Engels)
m·s9
T8 presock (Engels)
m−1·s8
absock (Engels)
m·s8
T7 presop (Engels)
m−1·s7
absop (Engels)
m·s7
T6 presackle (Engels)
m−1·s6
absrackle (Engels)
m·s6
T5 presounce (Engels)
m−1·s5
absounce (Engels)
m·s5
T4 preserk (Engels)
m−1·s4
abserk (Engels): D
m·s4
T3 preseleration (Engels)
m−1·s3
abseleration (Engels): C
m·s3
hoek/rotatie grootheden
T2 presity (Engels)
m−1·s2
absity (Engels): B
m·s2
Dimensie 1 geen (m·m−1) geen (m2·m−2)
T presement (Engels)
m−1·s
tijd: t
s
absition/absement (Engels): A
m·s
T tijd: t
s
1 placement (Engels)
golfgetal
m−1
afgelegde weg: d
plaatsvector: r, s, x
afstand:  s
m
oppervlakte: A
m2
1 hoek: θ
rad
ruimtehoek: Ω
rad2, sr
Wat meten tijdsafgeleiden? 'rasheid' ('swiftness')
T−1 frequentie: f
s−1, Hz
snelheid (scalar): v
snelheid (vector): v
m·s−1
kinematische viscositeitν
diffusiecoëfficiënt: D
specifiek impulsmomenth
m2·s−1
T−1 frequentie: f
s−1, Hz
hoeksnelheid: ω, ω
rad·s−1
T−2 versnelling: a
m·s−2
verbrandingswarmte
geabsorbeerde dosis: D
radioactieve-dosisequivalent
m2·s−2, J·kg−1, Gy, Sv
T−2 hoekversnelling: α
rad·s−2
T−3 ruk: j
m·s−3
T−3 hoekruk: ζ
rad·s−3
T−4 jounce/snap (Engels): s
m·s−4
T−5 crackle (Engels): c
m·s−5
T−6 pop (Engels): Po
m·s−6
T−7 lock (Engels)
m·s−7
T−8 drop (Engels)
m·s−8
M lineaire dichtheid:  
kg·m−1
massa: m
kg
ML2 massatraagheidsmomentI
kg·m2
Wat meten tijdsafgeleiden? 'sterkheid' ('forceness')
MT−1 dynamische viscositeit: η
kg·m−1·s−1, N·m−2·s, Pa·s
impuls: p (momentum),
stoot: J,  p (impulse)
kg·m·s−1, N·s
actie: 𝒮
actergie:
kg·m2·s−1, N·m·s, J·s
ML2T−1 impulsmoment (momentum angularis): L
kg·m2·s−1
actie: 𝒮
actergie:
kg·m2·s−1, N·m·s, J·s
MT−2 druk: p
mechanische spanning 
energiedichtheid: U
kg·m−1·s−2, N·m−2, J·m−3, Pa
oppervlaktespanning:   of  
kg·s−2, N·m−1, J·m−2
kracht: F
gewicht: Fg
·kg·m·s−2, N
energie: E
arbeid: W
warmte: Q
kg·m2·s−2, Nm, J
ML2T−2 krachtmoment (torque): M, τ
kg·m2·s−2, Nm
energie: E
arbeid: W
warmte: Q
kg·m2·s−2, Nm, J
MT−3 yank (Engels): Y
kg·m·s−3, N·s−1
vermogen: P
kg·m2·s−3W
ML2T−3 rotatum: P
kg·m2·s−3, N·m·s−1
vermogen: P
kg·m2 ·s−3W
MT−4 tug (Engels): T
kg·m·s−4, N·s−2
MT−5 snatch (Engels): S
kg·m·s−5, N·s−3
MT−6 shake (Engels): Sh
kg·m·s−6, N·s−4