Gelijksoortige matrices

In de lineaire algebra worden twee -matrices en over een lichaam/veld gelijksoortig of gelijkvormig genoemd, als er een inverteerbare -matrix over bestaat, zodat geldt:

Gelijksoortige matrices beschrijven dezelfde transformatie, maar ten opzichte van verschillende bases

Gelijksoortigheid van matrices is een equivalentierelatie, want:

  • (Reflexiviteit) Elke matrix is equivalent met zichzelf; kies voor de geschikte eenheidsmatrix.
  • (Symmetrie) Als equivalent is met is ook equivalent met want is inverteerbaar, dus
  • (Transitiviteit) Als equivalent is met en equivalent met geldt
en
,
zodat
,
en dus ook equivalent is met .

De bijbehorende equivalentieklassen worden gelijksoortigheidsklassen genoemd.

EigenschappenBewerken

Gelijksoortige matrices delen vele eigenschappen. Ze hebben dezelfde:

  • De afbeelding   is een automorfisme op de associatieve algebra van alle  -matrices.

NormaalvormBewerken

Omdat gelijksoortige matrices in feite dezelfde transformatie representeren, rijst de vraag of er nij een gegeven matrix   een eenvoudige vorm ("normaalvorm")   is die gelijksoortig is met  , zodat eigenschappen van   onderzocht kunnen worden aan de eenvoudigere matrix  . Zo wordt   een diagonaliseerbare matrix genoemd als   gelijksoortig is aan een diagonaalmatrix. Niet alle matrices zijn diagonaliseerbaar; over de complexe getallen echter (of over een willekeurig algebraïsch gesloten) lichaam, is elke matrix gelijksoortig met een matrix in jordan-normaalvorm. Een andere normaalvorm, de frobenius-normaalvorm, bestaat voor elk lichaam. Door de jordan- of frobenius-normaalvormen van   en   te beschouwen, kan men onmiddellijk beslissen of   en   gelijksoortig zijn. Ook de smith-normaalvorm kan worden gebruikt om te bepalen of matrices gelijksoortig zijn, hoewel in tegenstelling tot de jordan- en de frobenius-normaalvormen, een matrix niet noodzakelijkerwijs gelijksoortig hoeft te zijn aan zijn smith-normaalvorm.

OpmerkingenBewerken

Gelijksoortigheid van matrices hangt niet af van het lichaam. Twee matrices   en   over het lichaam   zijn gelijksoortig dan en slechts dan als ze gelijksoortig zijn ten aanzien van een deellichaam van   Men kan het lichaam   veilig uitbreiden, bijvoorbeeld om het algebraïsch af te sluiten en de Jordan-normaalvormen berekenen over het uitgebreide lichaam en aan de hand daarvan bepalen of de matrices gelijksoortig zijn. Deze aanpak kan worden gebruikt om bijvoorbeeld aan te tonen dat elke matrix gelijksoortig is aan zijn getransponeerde matrix. In de definitie van gelijksoortigheid zijn   en   permutatie-gelijksoortig, wanneer de matrix   een permutatiematrix is.   en   zijn unitair equivalent, wanneer de matrix   een unitaire matrix is. De spectraalstelling zegt dat elke normale matrix unitair equivalent is met een bepaalde diagonaalmatrix.

ToepassingenBewerken

Andere gebiedenBewerken

In de groepentheorie wordt gelijksoortigheid conjugatie genoemd.

Zie ookBewerken