Convolutie

Convolutie (samenvouwing) is een wiskundige bewerking, aangeduid door (asterisk) of , op twee functies met als resultaat een nieuwe functie: de convolutie van beide. Synoniem voor convolutie is Duhamel-integraal of -som, Faltung-integraal of -som (Duits: vouwen). Een interpretatie van de convolutie is de transformatie van een van beide functies door de andere. Daarbij is het resultaat de oppervlakte van de overlap van beide functies, waarbij de tweede functie verschuift.

Figuur 1. Convolutie van twee blokvormige signalen: het resultaat is een driehoekig signaal
Figuur 2. Convolutie van een blokvormig signaal (het input signaal) met een impulsvormig signaal. De convolutie is de oppervlakte van de gele figuur.

Het voorbeeld in figuur 1 kan men als volgt bekijken:

  • De functies en zijn blokfuncties met een waarde 1 op het interval , en de waarde 0 elders.
  • Aangezien deze functies symmetrisch zijn rond 0 (met andere woorden: voor elke geldt dat en ), is de gespiegelde versie van de functie, gelijk aan de functie zelf.
  • De functie wordt dan verschoven met een factor , waarbij varieert van tot
  • Op het moment dat gelijk is aan –1, is er nog geen enkele overlap voor beide functies. Immers, de verschuiving van met een factor resulteert in een blokfunctie die een waarde 1 heeft voor alle waarden die voldoen aan .
  • Zodra echter groter wordt, is er een overlap van beide functies. Deze begint zeer klein, maar wordt maximaal als beide functies elkaar volledig overlappen. Dit is het geval bij . Daar is dus ook de gemeenschappelijke oppervlakte het grootst.
  • Daarna vermindert de overlap weer, en daalt de functie .

Een gelijksoortige analyse kan men geven bij het voorbeeld in figuur 2.

VoorbeeldenBewerken

KansrekeningBewerken

Op een druk kruispunt gebeuren elke week wel een of meer ongelukken. Het aantal ongelukken in de komende twee weken is de som van het aantal ongelukken van komende week en van de week daarna. Als de komende twee weken 5 ongelukken zullen gebeuren, kan dat de som zijn van 0 volgende week en 5 de week daarna, of 1 komende week en 4 daarna, of 2+3, 3+2, 4+1 of 5+0. Om de kans te bepalen dat de volgende twee weken 5 ongelukken zullen gebeuren, moeten de kansen op de genoemde mogelijkheden bij elkaar worden opgeteld. Die kans is de convolutie van de kansen van de komende week en van de week daarna.

Uitleg van figuur 1Bewerken

In bovenstaande figuur 1 zien we de convolutie van een blokfunctie met zichzelf. De blokfunctie is gedefinieerd als

 

Voor de convolutie   geldt:

 

Omdat

  voor   en  

volgt voor  

 

Voor   is

 

en voor  

 

De convolutie   is dus een driehoeksfunctie, die getoond wordt in figuur 1.[1]

DefinitiesBewerken

Laat   en   twee rijen getallen zijn, geïndexeerd door gehele getallen. De convolutie van   en  , genoteerd   of  , is een nieuwe getallenrij waarvan de algemene term gegeven wordt door

 

op voorwaarde dat de reekssom absoluut convergeert.

Laat   en   twee meetbare functies zijn op de reële getallen. De convolutie van   en   is een nieuwe functie  , met als voorschrift

 

op voorwaarde dat de integraal bestaat in de absoluut convergente zin van Lebesgue.

Deze bewerking kan als een voortschrijdend gewogen gemiddelde van   gezien worden, met   (of eigenlijk: de spiegeling van  ) als rij gewichten.

OpmerkingBewerken

In minder theoretische teksten wordt de convolutie van de functies   en  , op een enigszins verwarrende manier, wel genoteerd als:

 

Op de achtergrond speelt daarbij de gedachte dat de expliciete vorm van de functies zichtbaar is.

EigenschappenBewerken

CommutativiteitBewerken

 

AssociativiteitBewerken

 

DistributiviteitBewerken

 

Associativiteit met het scalair vermenigvuldigenBewerken

 ,

met   een willekeurig complex (reëel) getal.

AfgeleideBewerken

 ,

met   de afgeleide van   (continu geval) en   (discreet geval).

ConvolutiestellingBewerken

 ,

met   de fourier-getransformeerde van  .

Gelijkaardige eigenschappen gelden ook voor de Laplacetransformatie:

 

en de Z-transformatie:

 

InverseBewerken

Soms wordt getracht, door zogeheten deconvolutie, uit de convolutie   van een onbekende functie   en een bekende functie  , de onbekende   terug te vinden. Dit is echter in lang niet alle gevallen mogelijk.

ToepassingenBewerken

RegeltechniekBewerken

Convolutie wordt onder meer gebruikt in de systeemtheorie, meer bepaald in de regeltechniek. De functies   en   stellen dan signalen voor. Rijen zijn signalen in discrete tijd, functies met reëel domein zijn signalen in continue tijd.

Een lineair tijdsinvariant systeem   gegeven door de impulsantwoord  , geeft als output   de convolutie van de impulsrespons met het ingangssignaal  :

 

Deze uitdrukking geldt in de veronderstelling dat alle beginvoorwaarden van het systeem nul zijn (nultoestand).

CoderingstheorieBewerken

In de coderingstheorie wordt bij een convolutiecode uitgegaan van bijvoorbeeld een binair schuifregister, waaraan een rij te coderen bits toegevoerd wordt. De uitvoer van het schuifregister is het te versturen codewoord; deze uitvoer kan worden opgevat als de convolutie van de pulsresponsie met de ingevoerde bitrij. De lengte van een codewoord is de lengte van de inputrij plus het aantal vertragingselementen in het schuifregister.

KansrekeningBewerken

De convolutie vindt ook toepassing in de kansrekening. De kansdichtheid van de som van twee onderling onafhankelijke continue stochastische variabelen is de convolutie van de beide afzonderlijke dichtheden. Ook voor discrete stochastische variabelen geldt een overeenkomstige eigenschap.

De som van twee onafhankelijke continue stochastische variabelen is opnieuw continu, en haar dichtheidsfunctie is de convolutie van de twee afzonderlijke dichtheidsfuncties.

1. De stochastische variabelen   en   zijn onderling onafhankelijk en beide exponentieel verdeeld met parameter  . De kansdichtheid van de som van beide is voor  :

 

De som   heeft dus een Erlang-verdeling met parameters   en 2.

2. De stochastische variabelen   en   zijn onderling onafhankelijk en beide Poisson-verdeeld met respectievelijke parameters   en  . De kansfunctie van de som van beide is voor  :

 

De som   heeft dus ook een Poisson-verdeling, maar met parameter  .

GeneralisatiesBewerken

DistributiesBewerken

Door uitbreiding van het begrip partiële integratie wordt de convolutie gedefinieerd op distributies.

 
De convolutie van een functie met de dirac-operator verschuift die functie

De convolutie van een signaal   met een verschoven dirac-impuls   is:

 ,

want   is overal nul, behalve voor  .

 , want   is overal nul, behalve voor  , waar geldt dat  .

dus telkens een verschuiving.

Topologische groepenBewerken

De natuurlijke thuishaven van de convolutie is die van een lokaal compacte groep   met een linksinvariante maat  , de zogenaamde Haar-maat. De groepsbewerking is de convolutie ( ). Als   en   Haar-integreerbare functies zijn, wordt hun convolutie   gedefinieerd door het voorschrift

 

Bovenstaande definities voor de convolutie van rijen of van reële functies zijn hiervan de speciale gevallen voor de optelgroepen der gehele getallen (met de telmaat) respectievelijk de reële getallen (met de lebesgue-maat).

  Zie de categorie Convolution van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.