Impulsantwoord

Het impulsantwoord of de impulsrespons is een belangrijke karakteristiek van lineaire, tijdsinvariante systemen (zie LTC-systeem) in de wiskundige systeemtheorie en in de regeltechniek. Het impulsantwoord is gedefinieerd als het uitgangssignaal (het antwoord) van het systeem S op een aan de ingang aangelegd impulsvormig signaal, idealiter een diracdelta, .

In werkelijkheid kan men natuurlijk slechts een benadering van zo'n ingangssignaal aanleggen en daarmee een benadering van de impulsrespons verkrijgen. Ook zou in een elektronische schakeling zelfs een benadering van een delta-impuls een zeer grote spanning of stroom aan de ingang vergen. Daarom bepaalt men wel de zogehten staprespons, de uitgangswaarde als aan de ingang de een stapfunctie is aangelegd. Dat houdt in dat op de ingang van 0 naar 1 wordt geschakeld.

StapresponsBewerken

Aangezien de dirac-delta de afgeleide is van de stapfunctie, is de impulsrespons de afgeleide van de staprespons. Immers, met   de stapfunctie, is de staprespons:

 

Dus is

 

ConvolutieBewerken

Wordt aan de ingang van een lineair tijdsinvariant systeem S een signaal   aangelegd, dan zal aan de uitgang het signaal   verschijnen, dat de convolutie is van   met de impulsrespons  . Immers voor een dergelijk systeem kan men - enigszins slordig - schrijven:

 

(vanwege de lineariteit)

 

Ook voor discrete lineaire, tijdsinvariante systemen geldt een dergelijke verband. Voor de output   bij ingangssignaal   kunnen we schrijven:

 

Voorbeeld 1Bewerken

Het systeem gedefinieerd door de differentievergelijking:

 ,

zal op de ingangimpuls, waarvoor dus   en   voor andere  , reageren met een uitgangssignaal:

 

De impulsrespons is dus:

 

Voor een willekeurig ingangssignaal   is het uitgangssignaal (de oplossing van de differentievergelijking):

 

Voorbeeld 2Bewerken

De impulsrespons   van een integrator is de stapfunctie  . De integrator is de integraal tot het moment  , dus voor de impuls:

 

Voorbeeld 3Bewerken

 
Eenvoudig laagdoorlaatfilter

Een eenvoudig laagdoorlaatfilter bestaat uit de serieschakeling van een weerstand   en een condensator  . Op de ingang staat de spanning   en de uitgangsspanning is de spanning   over de condensator. Het systeem wordt beschreven door de lineaire eerste-ordedifferentiaalvergelijking

 

Daarin is   de zogeheten RC-tijd.

Legt men op   een constante spanning ter grootte   aan de ingang, terwijl C ongeladen is, dan is:

 

De staprepons is dus

 

Voor de impulsrespons volgt dan voor  :

 ,

dus