Sfeer (wiskunde)

lichaam
(Doorverwezen vanaf Boloppervlak)

In de meetkunde is een boloppervlak of sfeer een driedimensionale figuur die gevormd wordt door alle punten die op gelijke afstand liggen van een vast punt, het middelpunt van het boloppervlak. Een bol kan zowel opgevat worden als driedimensionale generalisatie van de cirkel, als van de cirkelschijf.

Perspectivische projectie van een sfeer

Daarnaast wordt met een open bol de open verzameling punten binnen een sfeer en met een gesloten bol de gesloten verzameling punten binnen een sfeer bedoeld.

Andere talenBewerken

Het is in sommige gevallen nodig duidelijk onderscheid tussen een bol als oppervlak en als lichaam te kunnen maken. Het oppervlak kan daartoe als sfeer of als boloppervlak worden aangeduid. Hetzelfde doet zich in de andere talen voor. In het Engels is sphere van oorsprong zowel het boloppervlak als het lichaam. Men maakt in het Engels wel onderscheid tussen 'sphere' als oppervlak en ball als lichaam. In het Duits worden met Kugel ook zowel het oppervlak als het lichaam aangeduid en heeft men daarnaast het woord Sphäre voor het oppervlak. In het Frans bestaat dezelfde tweeduidigheid met het woord boule en gebruikt men sphère voor het oppervlak.

DefinitieBewerken

Een sfeer is de verzameling van alle punten in een driedimensionale euclidische ruimte die op een gegeven afstand, de straal, liggen van een gegeven punt, het middelpunt van de sfeer. De sfeer   met straal   en middelpunt  

 

De sfeer kan ook vastgelegd worden door een vergelijking. De sfeer met oorsprong in het punt   en straal   is in cartesische coördinaten gegeven door:

 

Het oppervlak van een sfeer met straal   heeft grootte

 

De eenheidsbol, het oppervlak, is de sfeer   met de oorsprong als middelpunt en straal 1.

Wiskundige vergelijkingBewerken

In cartesische coördinatenBewerken

In cartesische coördinaten kan een boloppervlak met straal   en middelpunt   weergegeven worden door de vergelijking:

 .

ParametervergelijkingBewerken

In bolcoördinaten ten opzichte van het middelpunt luidt de vergelijking:

 
 
 

DifferentiaalvergelijkingBewerken

Ieder boloppervlak wordt beschreven door de differentiaalvergelijking

 

Willekeurige dimensieBewerken

Voor ieder natuurlijk getal   definieert men de  -sfeer met middelpunt   en straal   als

 

met als speciaal geval de eenheidsbol in   dimensies

 

Het getal   is de dimensie van   opgevat als topologische variëteit; intuïtief is dit het aantal vrijheidsgraden. Zo is de cirkel   lokaal gezien een eendimensionale lijn, en het boloppervlak   lokaal een tweedimensionaal vlak.

Het gehanteerde afstandsbegrip komt meestal met de gewone metriek overeen.

 

De sfeer   is de rand van de gegeneraliseerde bol   in   dimensies.

In   dimensies is de gegeneraliseerde bol gedefinieerd als

 

met als speciaal geval de eenheidsbol

 

De bol is een fundamenteel begrip in veel metrische ruimtes, en wordt – afhankelijk van het betreffende deelgebied van de wiskunde – uitgerust met aanvullende structuren, bijvoorbeeld die van een topologische, gladde of riemannse variëteit.

Het vermoeden van Poincaré betreft een voldoende voorwaarde opdat een gegeven driedimensionale variëteit topologisch equivalent is met de driesfeer  .

De driesfeer wordt soms “aanschouwelijk” gemaakt door haar te modelleren als deelverzameling van  :

 

De topologische zevensfeer   kan worden uitgerust met niet minder dan 28 onderling verschillende gladde structuren. Een daarvan is de klassieke gladde structuur afkomstig van de omliggende euclidische ruimte  , de andere 27 zijn voorbeelden van exotische differentiaalstructuren.

De stelling van Borsuk-Ulam gaat over continue afbeeldingen van de  -sfeer naar de  -dimensionale euclidische ruimte.

Andere metriekenBewerken

In een willekeurige metrische ruimte  , of zelfs een pseudometrische ruimte, is de sfeer met middelpunt   en straal   op analoge wijze gedefinieerd:

 

Is bijvoorbeeld het vlak   uitgerust met de Manhattan-metriek

 ,

dan hebben de cirkels de vorm van vierkanten waarvan de zijden een hoek van 45° maken met de coördinaatassen.

Riemann-sfeerBewerken

De riemann-sfeer is het riemann-oppervlak dat ontstaat door aan het complexe vlak   één punt   toe te voegen, waarbij het gedrag in de omgeving van   bepaald wordt door de afbeelding

 ,

als een kaart met kromlijnige coördinaten van het complexe vlak te beschouwen.

Topologisch is de riemann-sfeer gelijkwaardig met de gewone eenheidsbol  .

Meetkundig modelleert de riemann-sfeer de complexe projectieve lijn  .

Zie de categorie Spheres van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.