Hoofdmenu openen

Het meetkundig gemiddelde of geometrisch gemiddelde van getallen wordt verkregen door de getallen met elkaar te vermenigvuldigen en vervolgens van het product de -de-machtswortel te nemen.

Voor gebruikt men ook de synoniemen middelevenredige of middenevenredige.

Inhoud

DefinitieBewerken

Het meetkundig gemiddelde   van de   positieve getallen   is gedefinieerd als:

 

Voor   geldt dus:  , zodat

  of  .

VoorbeeldBewerken

De koers van een aandeel stijgt in het eerste jaar met 10% (factor 1,1), in het tweede jaar met 20% (factor 1,2), en daalt in het derde jaar met 15% (factor 0,85). Het meetkundig gemiddelde van deze koerswijzigingen is nu:

 

Dit betekent dat een jaarlijkse koersstijging van 3,91% gedurende drie jaar dezelfde eindkoers zou hebben opgeleverd.

Negatieve getallenBewerken

 
Functiegrafiek van het meetkundig gemiddelde van twee veranderlijken. Als de twee veranderlijken verschillend teken hebben, is het gemiddelde niet gedefinieerd als reëel getal.

Omdat in de definitie een worteltrekking voorkomt, moet men voorzichtig zijn met negatieve getallen. Zo is het meetkundig gemiddelde van twee reële getallen slechts goed gedefinieerd (en een positief reëel getal) als beide getallen hetzelfde teken hebben. In praktische toepassingen wordt het meetkundig gemiddelde bijna uitsluitend voor positieve getallen berekend.

Voor positieve getallen is het meetkundig gemiddelde nooit groter dan het rekenkundig gemiddelde (strikt kleiner tenzij alle getallen gelijk zijn). Dit kan worden aangetoond door de ongelijkheid van Jensen toe te passen op de convexe functie  . Het meetkundig gemiddelde van positieve getallen ligt tussen het kleinste en het grootste getal van de collectie.

InterpretatieBewerken

  • Het meetkundig gemiddelde zoekt een evenwicht in de verhoudingen tussen getallen, zoals het rekenkundige gemiddelde een evenwicht zoekt in de verschillen. Dit wordt (nog steeds voor positieve getallen) preciezer uitgedrukt als volgt:
De logaritme van het meetkundig gemiddelde is het rekenkundig gemiddelde van de afzonderlijke logaritmen:
 
  • In een meetkundige rij is elk getal het meetkundig gemiddelde van het vorige en volgende getal.
  • Het meetkundig gemiddelde van de getallen   en   is de maximale waarde van   zodat de matrix   positief semidefiniet is, dat wil zeggen dat de determinant   van deze matrix niet negatief is. Dit is het geval als en slechts als  .

Meetkundige constructieBewerken

 
Meetkundige constructie voor het meetkundig gemiddelde van twee positieve getallen

Het meetkundig gemiddelde ontleent zijn naam aan de volgende meetkundige constructie voor het gemiddelde van twee positieve getallen   en  . Teken op eenzelfde rechte   twee aansluitende lijnstukken met lengten   respectievelijk   die elkaar ontmoeten in een punt  . Teken de cirkel die de som van beide lijnstukken als diameter heeft. Laat de loodlijn op de rechte   vanaf het punt   op   de cirkelomtrek snijden in een punt  . Dan is de lengte van het lijnstuk   het meetkundig gemiddelde van   en  . De straal van de cirkel is overigens het rekenkundig gemiddelde van   en  . Hieruit blijkt grafisch dat het meetkundig gemiddelde van twee getallen niet groter is dan het rekenkundig gemiddelde.

Een andere meetkundige interpretatie van het meetkundig gemiddelde   is: het is de zijde van het vierkant waarvan de oppervlakte gelijk is aan die van de rechthoek met zijden   en  .