Hoofdmenu openen
Poolcoördinaten van P
De punten (3, 60°) en (4, 210°) in poolcoördinaten

In de wiskunde kan de plaats van een punt in een vlak vastgelegd worden door middel van coördinaten. Daartoe is een referentiekader nodig. Bij poolcoördinaten bestaat dit in het vlak gelegen referentiekader, uit een vast punt O, de pool, en een halfrechte door dit punt, de poolas.

De coördinaat van een punt P is de afstand OP. Als tweede coördinaat kiest men een waarde van de georiënteerde hoek die de halfrechte van O door P insluit met de vaste halfrechte. De coördinaten en heten poolcoördinaten van het punt P. Uit deze definitie volgt onmiddellijk dat het punt P meerdere paren poolcoördinaten heeft. Als een paar poolcoördinaten van het punt P is, met in radialen, is ook een paar poolcoördinaten van P, en eveneens voor gehele De hoek kan ook in graden worden uitgedrukt. Voor de pool zelf is en onbepaald.

Poolcoördinaten en cartesische coördinatenBewerken

 
Overgang van pool- naar cartesische coördinaten

Het verband tussen de cartesische coördinaten   en de poolcoördinaten   wordt gegeven door:

 
 

Omgekeerd geldt:

 
 

Hierin is gebruikgemaakt van de uitgebreidere definitie van de arctangens:

 

Met behulp van de gewone arctangens kan men de hoek   als volgt in het interval   bepalen:

 

VoorbeeldBewerken

Nemen we als voorbeeld in de tweedimensionale ruimte het punt met gewone coördinaten:

 
 
Het punt met cartesische coördinaten (3,2)
 
Poolcoördinaten van het punt met cartesische coördinaten (3,2)

Dit punt heeft als poolcoördinaten:

  en  .

CoördinatentransformatieBewerken

De jacobi-matrix van de bovengenoemde overgang van cartesische naar poolcoördinaten wordt bepaald door:

 
 

In matrixnotatie wordt dit:

 .

Voor de booglengte geldt

 

Als men een integraal in het  -vlak moet omzetten naar poolcoördinaten   en  , wordt het verband tussen de oppervlakte-elementjes   en   gegeven door

 

De determinant in deze betrekking is de jacobiaan van de coördinatentransformatie:

 

VectorveldBewerken

Het is gebruikelijk een vectorveld

 

in poolcoördinaten te ontbinden in een component   langs de poolstraal en een component   loodrecht daarop in de richting van de hoek θ. Voor deze componenten geldt:

 
 

Omgekeerd:

 
 

Complexe getallenBewerken

 
Een voorbeeld van een complex getal op het complexe vlak

Poolcoördinaten kunnen ook worden gebruikt om complexe getallen weer te geven in het complexe vlak. Het complexe getal   kan carthesisch worden weergeven als:   waarin   het reële deel is en   het imaginaire deel.

Met poolcoördinaten kan   geschreven worden als   waarin   de modulus van   is en   het argument (in radialen) is.

Voor   en   is   en  , en ontstaat de Identiteit van Euler:

 

PoolvergelijkingBewerken

 
richting van de raaklijn in P

Een poolvergelijking is de uitdrukking van een wiskundig verband tussen de variabelen   en   Dit verband wordt meestal uitgedrukt in de vorm   of impliciet als   Daarin wordt de hoek   altijd uitgedrukt in radialen. Bij een gekozen stelsel poolcoördinaten vormen de oplossingen van een dergelijke vergelijking de grafiek van de poolvergelijking. Eenzelfde grafiek kan bij verschillende poolvergelijkingen horen.

In een poolvergelijking van de vorm   mag de hoek   in principe alle reële getallen doorlopen.

Onder de richting van een kromme K in een punt   verschillend van de pool wordt de richting van de raaklijn in P aan K verstaan, georiënteerd in de zin van toenemende waarden van   'De richting kan bepaald worden uit de hoek   tussen de raaklijn in P en de voerstraal OP (zie figuur). Voor deze hoek geldt:

 

Voor bijvoorbeeld de logaritmische spiraal is   constant.

Alternatieve definitie van poolcoördinatenBewerken

 
  en   zijn twee paren poolcoördinaten van het punt P

In sommige gevallen kan het nuttig dat de voerstraal   ook negatieve waarden kan aannemen. Om dit mogelijk te maken kan men uitgaan van een licht gewijzigde definitie van het poolcoördinatenstelsel.

Het referentiekader bestaat dan uit een vast punt O, de pool en een as door dit punt, de poolas. Om de poolcoördinaten van een punt P vast te leggen kiest men een as   door OP. De abscis   van het punt P op die as (met oorsprong O) is de eerste coördinaat   van P. Deze waarde kan negatief zijn. Als tweede coördinaat kiest men een van de mogelijke waarden van de geöriënteerde hoek   tussen de as   en de poolas. Ook hier kan het punt P meerdere paren poolcoördinaten hebben.

Als   een differentieerbare functie van   is die door nul gaat voor   raakt de door   beschreven kromme daar aan de lijn   Bij toelaten van een negatieve   gaat voor die   de kromme door O, anders eindigt de kromme bij O. Als de functie weer door nul gaat bij   met   voor   dan is de kromme bij toelaten van een negatieve   een gladde zichzelf in O snijdende kromme. Wordt een negatieve   niet toegelaten, dan vervalt het deel   en heeft de kromme in O een knik.

In natuurkundige formules betekent   vaak de norm (grootte) van de plaatsvector   Dat is dan een niet-negatieve grootheid, die dus onderscheiden moet worden van de   zoals hier gebruikt, die negatief kan zijn. Een grootheid kan alleen in termen van zo'n laatstgenoemde   (en  ) worden uitgedrukt als de uitdrukking correct blijft bij negatieve   Zo is de grootte van de middelpuntzoekende versnelling dan niet  , maar  ; anders gezegd: de versnelling is dan in de richting van afnemende   en niet noodzakelijk in de richting van afnemende   Rekening moeten houden met een negatieve   wordt zo al gauw onnodig ingewikkeld.

VoorbeeldenBewerken

Rechte lijnBewerken

De vergelijking in poolcoördinaten van een halfrechte (of als   ook negatief kan zijn een rechte lijn) door de pool is van de vorm   (constant).

De vergelijking van een rechte lijn die niet door de pool gaat, is

 

waarin   de afstand van de lijn tot de oorsprong is en   de richting loodrecht op de lijn.

Een vergelijking van de rechte door de punten   en   is

 

(of   negatief kan zijn maakt in deze gevallen niet uit).

CirkelBewerken

Een poolvergelijking van een cirkel met middelpunt in de pool en straal   is  

Een vergelijking van een cirkel met middelpunt   en straal   is

 

De grafiek van

 

is een cirkel met middelpunt   door de pool O.

Of   negatief kan zijn maakt in deze gevallen niet uit.

KegelsnedeBewerken

Een poolvergelijking van een kegelsnede met excentriciteit   een brandpunt in de pool en de corresponderende richtlijn loodrecht op de poolas is van de vorm

 

Daarin is   nog een parameter.

Als   niet negatief mag worden is de grafiek van de vergelijking in het geval van een hyperbool slechts één tak, en moet   in de overige gevallen positief zijn. Als een negatieve waarde voor   niet wordt toegelaten, zijn   en   bijvoorbeeld de vergelijkingen van de takken van een hyperbool, maar anders elk de vergelijking van de hele hyperbool.

De poolvergelijking van een ellips met de pool in het middelpunt en de poolas op de lange as, en met lange as   en korte as   is:

 

Rotatie en poolvergelijkingBewerken

 
Kromme  ; in de rechter figuur is   niet negatief

Draait men een kromme K met poolvergelijking   om de pool over een hoek   dan heeft de gewentelde kromme een vergelijking  

Voorbeeld

De kromme K is gegeven door de poolvergelijking  .Wentelt men de kromme over   radialen om de pool, dan is de vergelijking van de gewentelde kromme K':

 

De krommen K en K' voldoen aan dezelfde vergelijking, ze vallen samen.

Hogere dimensiesBewerken

Poolcoördinaten zijn ook geschikt voor gebruik in meer dan twee dimensies. Er zijn verschillende generalisaties mogelijk. In het algemeen geldt dat een punt in de  -dimensionale ruimte geïdentificeerd wordt door  , een voerstraal en   welgedefinieerde hoeken.

Externe linksBewerken

Zie ookBewerken