Hoofdmenu openen

In de wiskunde is een harmonische functie een tweemaal continu-differentieerbare, reëelwaardige functie die voldoet aan de Laplace-vergelijking, dus waarvoor de Laplaciaan gelijk is aan 0.

Inhoud

DefinitieBewerken

De tweemaal continu-differentieerbare functie   (met   een open deelverzameling van de  ) heet harmonisch als op heel   geldt:

 .

Daarin is   de Laplace-operator:

 .

EigenschappenBewerken

De Laplace-operator is een lineaire afbeelding op de lineaire ruimte van de tweemaal continu-differentieerbare functies. De harmonische functies vormen de kern van de operator.

EtymologieBewerken

De term "harmonisch" is afkomstig van de beweging van een punt op een strakgespannen snaar die een harmonische beweging ondergaat. De oplossing van de differentiaalvergelijking voor dit type beweging kan worden geschreven in termen van sinussen en cosinussen, dus harmonische functies.

VoorbeeldenBewerken

In twee dimensies:

  • het reële- en het imaginaire deel van een analytische functie. Zij namelijk   een holomorfe functie, met   reëelwaardig, dan is   oneindig vaak differentieerbaar en
 
zodat
 
Analoog voor het imaginaire deel.
  • de functie  ,want
 
 

In drie dimensies:

In   dimensies:

  • lineaire functies op de  
  • voor   de functie