Laplace-operator

De laplace-operator, ook wel laplaciaan genoemd, is een differentiaaloperator genoemd naar de Franse wiskundige Pierre-Simon Laplace en aangeduid door het symbool ∆. In de natuurkunde vindt de operator toepassing bij de beschrijving van voortplanting van golven (golfvergelijking), bij warmtetransport en in de elektrostatica in de laplacevergelijking. In de kwantummechanica stelt de laplace-operator de kinetische energie voor in de schrödingervergelijking. De functies waarvoor de laplaciaan gelijk is aan nul, worden in de wiskunde harmonische functies genoemd.

Voor een scalaire functie op een -dimensionale Euclidische ruimte is de laplace-operator gedefinieerd door:

Hierin staat voor de tweede partiële afgeleide naar de variabele .

Als operator schrijft men daarom wel:

.

Alternatief kan men schrijven:

Ook kan de Laplace-operator (in rechthoekige coördinaten) uitgedrukt worden in de operator nabla (∇):

Laplaciaan in drie dimensiesBewerken

In cartesische coördinaten,

 

In cilindercoördinaten:

 

In bolcoördinaten:

 

VoorbeeldBewerken

Zij   de functie gedefinieerd door

 

Dan geldt:

 

Laplace-operator voor een vectorveldBewerken

Voor een vectorveld   is de Laplace-operator gedefinieerd als:

 

In gewone cartesische coördinaten is het het vectorveld met als componenten de laplaciaan van de componenten van   dus:

 

UnicodeBewerken

De Laplace-operator is opgenomen in Unicode als U+2206.