Differentieerbaarheidsklasse

In de analyse is een differentieerbaarheidsklasse een klasse functies die dient ter classificatie van de differentieerbaarheidseigenschappen van deze functies. Hogere-orde differentieerbaarheidsklassen corresponderen met het bestaan van meer afgeleiden. Ruwweg kan men zeggen dat een functie die keer continu differentieerbaar is behoort tot de -de differentieerbaarheidsklasse.

De functie voor en anders 0, van klasse
Een gladde functie die niet analytisch is.

ClassificatieBewerken

Een reële functie   gedefinieerd op een open deelverzameling van de reële getallen behoort tot de diferentieerbaarheidsklasse   met   een niet-negatief geheel getal, als de eerste   afgeleiden   bestaan en continu zijn (de eerste   afgeleiden zijn automatisch continu vanwege het bestaan van de  -de afgeleide). Men zegt dan ook dat   van de klasse   is.

Van een functie   zegt men dat deze van klasse  , of glad is, als de functie afgeleiden heeft van alle mogelijk ordes. Van   zegt men dat deze van klasse   of analytisch is, als   glad is en als   gelijk is aan haar Taylorreeksontwikkeling rond elk willekeurig punt in haar domein.

Anders gezegd bestaat de klasse   uit alle continue functies. De klasse   bestaat uit alle differentieerbare functies, waarvan de afgeleide continu is; deze functies worden continu differentieerbaar genoemd. In het algemeen kunnen de klassen   recursief worden gedefinieerd door   als de verzameling van alle continue functies te definiëren en   voor elk positief geheel getal   als de verzameling van alle differentieerbare functies te definiëren waarvan de afgeleide van klasse   is. In het bijzonder maakt   deel uit van   voor elke  , en er zijn voorbeelden die laten zien dat deze opsluiting strikt is.   is de doorsnede van de verzamelingen   als   varieert over de niet-negatieve gehele getallen.   is strikt genomen opgesloten in  ; voor een voorbeeld hiervan, zie de bultfunctie, of ook hieronder.