Groepswerking

In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra en de meetkunde, is groepswerking of groepsactie (group action), een begrip waarmee symmetrieën van wiskundige objecten beschreven kunnen worden met behulp van groepen. Men beschouwt een verzameling wiskundige objecten, en beschrijft de symmetrieën van een wiskundig object door zijn symmetriegroep, die bestaat uit bijectieve transformaties die het object niet veranderen. In dit geval wordt de groep ook wel een permutatiegroep genoemd (als de verzameling eindig is en niet een vectorruimte vormt) of een transformatiegroep (als de verzameling een vectorruimte is en de groep als lineaire transformaties op de verzameling werkt).

Gegeven een gelijkzijdige driehoek "werkt" de rotatie van 120° rond het midden van de driehoek tegen de klok in op de verzameling van hoekpunten van de driehoek door elke hoekpunt op een andere hoekpunt af te beelden.

DefinitieBewerken

Een (links)werking of (links)actie van een groep   op een verzameling   is een homomorfisme   van   in de symmetrische groep   van  

 .

Omdat de linkswerking   van   op   een homomorfisme is, geldt:

  •  
  •  , met   het eenheidselement van de groep

In sommige gevallen blijkt het handiger een groep van rechts op een verzameling te laten werken.

Een (rechts)werking of (rechts)actie van een groep   op een verzameling   is een anti-homomorfisme   van   in de symmetrische groep   van  

 .

Omdat de rechtswerking   van   op   een anti-homomorfisme is, geldt:

  •  
  •  , met   het eenheidselement van de groep.

Men zegt dat de groep   (van links, resp. van rechts) op de verzameling   werkt.

In plaats van   schrijft men vaak eenvoudig  , of zelfs   voor een linkswerking, en voor een rechtswerking in plaats van   eenvoudig   of  . In deze notatie luiden de genoemde eigenschappen,

voor een linkswerking:

  •  
  •  

voor een rechtswerking:

  •  
  •  

Op equivalente wijze kan het begrip werking als volgt gedefinieerd worden.

Een (links)werking van de groep   op de verzameling   is een afbeelding:

 

met de volgende eigenschappen:

  • associativiteit:
 ;
  • met het eenheidselement   van de groep correspondeert de identieke afbeelding van  
 .

Analoog is een (rechts)werking van de groep   op de verzameling   een afbeelding:

 

met de volgende eigenschappen:

  • associativiteit:
 ;
  • met het eenheidselement   van de groep correspondeert de identieke afbeelding van  
 .

Uit de definitie volgt dat voor iedere   de functie van   naar   bijectief is. Wel is het mogelijk dat met meerdere groepselementen dezelfde bijectie correspondeert. Als dit niet het geval is, en dus de afbeelding van   in   naar   in de verzameling bijecties van   naar   injectief is, dan noemt men de groepswerking faithful of effectief.

Voorbeeld 1Bewerken

  is de verzameling functies van   naar  , en   is een groep van bijectieve transformaties van  . De groepswerking wordt gedefinieerd door  , of gelijkwaardig door  . Het is een homomorfisme van   in de symmetriegroep van  , waarbij dus met elke bijectie van   naar   in   een bijectie van   naar   correspondeert.

Voorbeeld 2Bewerken

Stel  , en   is een groep van bijectieve transformaties van  . De groepswerking is eenvoudig de toepassing van de bijectie op het punt.

BaanBewerken

Als een groep   werkt op een verzameling  , is de baan of orbit van een element   de deelverzameling   van alle beelden van   onder de groep:

 

De verzameling van alle banen als   de verzameling   doorloopt vormt een partitie van  . Als   (bovenstaand voorbeeld 2), vormen de banen dus een partitie van de  . Is   een metrische ruimte en   een isometriegroep, dan is soms een belangrijk onderscheid of de banen uit geïsoleerde punten bestaan, of met andere woorden, discrete metrische ruimten zijn.

VoorbeeldenBewerken

  •   is de verzameling isometrieën van {1, 2, 3}, bestaande uit de identiteit en het verwisselen van 1 en 3.  . De banen zijn   en  .
  •   is als hierboven.   is de verzameling functies van {1, 2, 3} naar {A, B}. De banen zijn, kort genoteerd, {AAB, BAA}, {ABB, BBA}, (AAA), (ABA), {BAB} en {BBB}.
  •   is de symmetriegroep van een veelvlak.   is de verzameling hoekpunten, ribben of zijvlakken. De banen zijn partities van hoekpunten, ribben of zijvlakken.

TransitiviteitBewerken

Een groepswerking is transitief als er maar één baan is. In het voorbeeld van het veelvlak noemt men het veelvlak dan respectievelijk hoekpunttransitief of isogonaal en zijvlaktransitief of isohedraal.

ToepassingBewerken

Stel   is de euclidische ruimte van een bepaalde dimensie, of een deelverzameling daarvan. Voor het beschrijven van symmetrie van een object op/in   (waarbij een "object in  " niet verward moet worden met een element van  ) kunnen we dat modelleren als een functie, gedefinieerd op  , met voor elk punt als functiewaarde een tupel met een of meer eigenschappen zoals kleur, materiaal, temperatuur enz. Zo kan bij de symmetrie van een voorwerp niet alleen de vorm worden betrokken maar ook andere aspecten. Ook kan men bijvoorbeeld bij een situatie zoals een gas in een ruimte symmetrie van druk en temperatuur als functie van positie beschouwen. Voor   kan men dan de verzameling van dergelijke functies nemen. Voor   kunnen we de symmetriegroep van   nemen, en de groepswerking kan worden gedefinieerd als boven. Dit komt erop neer dat als   een translatie is, en een voorwerp gegeven wordt door  , het overeenkomstig die translatie verschoven voorwerp gegeven wordt door  , enz. De symmetriegroep van een voorwerp of situatie beschreven door   bestaat dan uit de elementen   van   waarvoor  . Als   de indicatorfunctie is van een deelverzameling   van  , dan is deze symmetriegroep de doorsnede van die van   en  .

Als   de hele ruimte is kunnen we voor   nemen de euclidische groep   of alleen de directe isometrieën:  . In het laatste geval is een baan de verzameling mogelijke posities en standen[1] van een voorwerp (star lichaam in de ruime zin van het woord,   hoeft geen 3 te zijn), en correspondeert elke baan met een ander voorwerp.

Bij toevoeging aan het tupel van een in aanmerking te nemen eigenschap zoals kleur, enz. is de symmetriegroep van het voorwerp of de situatie een subgroep van de symmetriegroep zonder die toevoeging.

Zie ookBewerken