Permutatiegroep

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is een permutatiegroep een groep , waarvan de elementen permutaties zijn van een gegeven rij . De groepsbewerking in een permutatiegroep is de samenstelling van de permutaties. Er is tussen de elementen van een verzameling per definitie geen ordening, dus kan er eigenlijk niet over de permutatie van de elementen van een verzameling worden gesproken. Wanneer toch over de permutatiegroep van een verzameling wordt gesproken, wordt met de verzameling de rij van elementen bedoeld, waar de permutatiegroep op werkt.

De groep van alle permutaties van een rij heet de symmetrische groep van . Deze kan worden geschreven als .

Voor de bestudering van de permutatiegroepen van een eindige rij met elementen kan voor de rij worden genomen. Er zijn veel voorbeelden, waarbij voor de hoekpunten van een regelmatige veelhoek of van een regelmatig veelvlak worden genomen.

Als het alleen gaat om de groepsstructuur dan is bij een eindige rij alleen het aantal elementen van belang. In dat geval, of als de rij uit de context duidelijk is, wordt de symmetrische groep van elementen aangeduid met . Omdat iedere permutatiegroep de elementen van een rij permuteert, is iedere permutatiegroep te zien als een ondergroep van de symmetrische groep .

De theorie van de permutatiegroepen kent toepassingen in de studie van symmetrieën, de combinatoriek en vele andere takken van de wiskunde, de natuurkunde en de scheikunde.

De eigenschappen van een permutatiegroepBewerken

Net als andere groepen moet een permutatiegroep voldoen aan de groepsaxioma's: de permutatie die de identiteit is, moet element van de groep zijn, van iedere permutatie moet de inverse permutatie element zijn en de permutatiegroep moet gesloten zijn onder de samenstelling van zijn elementen.

Volgens de stelling van Cayley is iedere groep isomorf met een permutatiegroep.

Transitiviteit is een begrip uit de groepentheorie. Een permutatiegroep   heet transitief, wanneer er voor ieder combinatie  , beide element van  , een permutatie   is, zodat  .

VoorbeeldenBewerken

Permutaties worden veelal in cyclische vorm geschreven, als product van disjuncte cykels. Voor de verzameling   wordt de permutatie   met   en   geschreven als  , of ook als  , aangezien 3 ongewijzigd blijft.

Van de verzameling   zijn de volgende permutaties gegeven:

  •  , de triviale permutatie, de identieke afbeelding, die elk element op zijn eigen plaats laat.
  •  , die alleen de elementen 1 en 2 verwisselt.
  •  , die alleen de elementen 3 en 4 verwisselt.
  •  , de samenstelling van de twee voorgaande permutaties, die zowel 1 en 2 als 3 en 4 verwisselt.

De Rubiks kubus is een model van een permutatiegroep. Iedere rotatie van een van de vlakken van de kubus is een element in de permutatiegroep van de Rubiks kubus, zij vormen de genererende verzameling van de permutatiegroep van de Rubiks kubus. Niet alle denkbare kubusposities kunnen door de toegestane rotaties van de kubus worden bereikt.

IsomorfieBewerken

Als   en   twee permutatiegroepen op dezelfde verzameling   zijn, zegt men dat   en   als permutatiegroepen isomorf zijn als er een bijectie of permutatie   bestaat, zodanig dat   een bijectie is tussen   en   Dat houdt in dat bij ieder element   een unieke   bestaat waarvoor   voor alle   Dit betekent hetzelfde als dat   en   elkaars geconjugeerden zijn als ondergroepen van  .   en   zijn in dit geval ook isomorf als groepen.

LiteratuurBewerken