Permutatiegroep

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is een permutatiegroep een groep , waarvan de elementen permutaties zijn van de elementen van een verzameling . Een permutatie is een bijectie tussen en zichzelf. De groepsbewerking in een permutatiegroep is de samenstelling van de permutaties. De groep van alle permutaties van heet de symmetrische groep van . Deze kan worden geschreven als . Aangezien alle permutaties van bevat, is iedere permutatiegroep over een ondergroep van .

Als het alleen gaat om de groepsstructuur, is bij een eindige verzameling alleen het aantal elementen van belang. In dat geval, of als verzameling uit de context duidelijk is, wordt de symmetrische groep van elementen aangeduid met .

De theorie van de permutatiegroepen kent toepassingen in de studie van symmetrieën, de combinatoriek en vele andere takken van de wiskunde, de natuurkunde en de scheikunde.

De eigenschappen van een permutatiegroepBewerken

Net als andere groepen moet een permutatiegroep voldoen aan de groepsaxioma's: de permutatie die de identiteit is, moet element van de groep zijn, van iedere permutatie moet de inverse permutatie element zijn en de permutatiegroep moet gesloten zijn onder de samenstelling van zijn elementen.

Volgens de stelling van Cayley is iedere groep isomorf met een permutatiegroep.

Transitiviteit is een begrip uit de groepentheorie. Een permutatiegroep   heet transitief, wanneer er voor ieder combinatie  , beide elementen van  , een permutatie   is, zodat  .

VoorbeeldenBewerken

Permutaties worden veelal in cyclische vorm geschreven, als product van disjuncte cykels. Voor de verzameling   wordt de permutatie   met   en   geschreven als  , of ook als  , aangezien 3 ongewijzigd blijft.

Van de verzameling   zijn de volgende permutaties gegeven:

  •  , de triviale permutatie, de identieke afbeelding, die elk element op zijn eigen plaats laat.
  •  , die alleen de elementen 1 en 2 verwisselt.
  •  , die alleen de elementen 3 en 4 verwisselt.
  •  , de samenstelling van de twee voorgaande permutaties, die zowel 1 en 2 als 3 en 4 verwisselt.

De Rubiks kubus is een model van een permutatiegroep. Iedere rotatie van een van de vlakken van de kubus is een element in de permutatiegroep van de Rubiks kubus, zij vormen de genererende verzameling van de permutatiegroep van de Rubiks kubus. Niet alle denkbare kubusposities kunnen door de toegestane rotaties van de kubus worden bereikt.

IsomorfieBewerken

Als   en   twee permutatiegroepen op dezelfde verzameling   zijn, zegt men dat   en   als permutatiegroepen isomorf zijn als er een bijectie of permutatie   bestaat, zodanig dat   een bijectie is tussen   en   Dat houdt in dat bij ieder element   een unieke   bestaat waarvoor   voor alle   Dit betekent hetzelfde als dat   en   elkaars geconjugeerden zijn als ondergroepen van  .   en   zijn in dit geval ook isomorf als groepen.

LiteratuurBewerken