Symmetrische groep

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is de symmetrische groep $S_{n}$ van een eindige verzameling $M$ met $n$ elementen de groep van alle permutaties van $M$. De groepsoperatie is de samenstelling van afbeeldingen. In plaats van $S_{n}$ wordt de symmetrische groep van $M$ ook wel genoteerd als $\operatorname {Sym} (M)$. Aangezien er $n!$ permutaties zijn van $n$ verschillende elementen, is de orde, het aantal elementen van de symmetrische groep $S_{n}$ gelijk aan $n!$.

Cayley-graaf van de symmetrische groep $S_{4}$
voortbrengers

 2314

 2341

Iedere permutatiegroep van een verzameling met $n$ elementen is een ondergroep van $S_{n}$.

Voorbeeld

De symmetrische groep $S_{3}$ van alle permutaties van een verzameling met drie elementen, voor het gemak de verzameling {1,2,3}, bestaat uit de volgende zes permutaties:

123, 132, 213, 231, 312, 321

In cykelnotatie zijn dat:

(1)(2)(3), (1)(23), (12)(3), (123), (132) en (13)(2) (de eerste is de identiteit)

Het product van 213 en 312 verkrijgt men door de beide permutaties achter elkaar uit te voeren: 213 o 312 = 321. In cykelnotatie: (12)(132) = (13).

Symmetrische groep versus symmetriegroep

Het begrip 'symmetrische groep' moet wel worden onderscheiden van het begrip 'symmetriegroep'. Zo is bijvoorbeeld $S_{4}$, met 24 elementen, de symmetrische groep van de verzameling hoekpunten van een vierkant, en de dihedrale groep $D_{4}$, met 8 elementen, de symmetriegroep van die verzameling. De overige 16 permutaties zijn geen isometrieën.

O is algebraïsch de symmetrische groep $S_{4}$, waarbij de elementen 1-op-1 overeenkomen met de permutaties van de lichaamsdiagonalen van de kubus.

Voetnoten