Symmetrische groep

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is de symmetrische groep van een eindige verzameling met elementen de groep van alle permutaties van .[1] De groepsoperatie is de samenstelling van afbeeldingen. In plaats van wordt de symmetrische groep van ook wel genoteerd als . Aangezien er permutaties zijn van verschillende elementen, is de orde (het aantal elementen) van de symmetrische groep gelijk aan .

Cayley-graaf van de symmetrische groep met voortbrengers 2314 (blauw) en 2341 (rood)

Elke permutatiegroep van een verzameling met elementen is een ondergroep van .

VoorbeeldBewerken

De symmetrische groep   van alle permutaties van een verzameling met 3 elementen (voor het gemak de verzameling {1,2,3}) bestaat uit de volgende 6 permutaties:

123, 132, 213, 231, 312 en 321

Daarin wordt bijvoorbeeld met 213 de permutatie bedoeld:

(1,2,3) → (2,1,3).

Het product van 213 en 312 verkrijgt men door de beide permutaties achter elkaar uit te voeren: 213 o 312 = 321. In cykelnotatie: (1 2) ( 3 2 1) = (1 3).

Symmetrische groep versus symmetriegroepBewerken

Het begrip 'symmetrische groep' moet wel onderscheiden worden van het begrip 'symmetriegroep'. Zo is bijvoorbeeld  , met 24 elementen, de symmetrische groep van de verzameling hoekpunten van een vierkant, en de dihedrale groep  , met 8 elementen, de symmetriegroep van die verzameling. De overige 16 permutaties zijn geen isometrieën.

O is algebraïsch de symmetrische groep  , waarbij de elementen 1-op-1 overeenkomen met de permutaties van de lichaamsdiagonalen van de kubus.[2]

Zie ookBewerken