Stelling van Arzelà-Ascoli

In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, geeft de stelling van Arzelà-Ascoli noodzakelijke en voldoende voorwaarden om te beslissen of een rij van reëel-waardige continue functies van een gesloten en begrensd interval een uniform convergente deelrij heeft. De belangrijkste voorwaarde is de equicontinuïteit van de rij van functies. De stelling is een fundamenteel resultaat in de wiskunde. In het bijzonder vormt het de basis voor het bewijs van de existentiestelling van Peano in de theorie van de gewone differentiaalvergelijkingen en de stelling van Montel in de complexe analyse. De stelling speelt ook een beslissende rol in het bewijs van de stelling van Peter-Weyl.

Het begrip equicontinuïteit werd ongeveer rond dezelfde tijd geïntroduceerd door Giulio Ascoli (1883-1884) en Cesare Arzelà (1882-1883). Een zwakke vorm van de stelling werd bewezen door Ascoli (1883-1884), die de voldoende voorwaarde voor compactheid vaststelde, en door Arzelà (1895), die de noodzakelijke voorwaarden voor de stelling vaststelde en die als eerste een duidelijke presentatie van het resultaat gaf. Een verdere veralgemening van de stelling werd in 1906 bewezen door Maurice Fréchet voor een ruimte, waarin de notie van een limiet zinvol is, zoals een metrische ruimte of een Hausdorff-ruimte. Moderne formuleringen van de stelling staan toe dat het domein en het bereik compacte metrische ruimten zijn. De meest algemene formulering van de stelling geeft noodzakelijke en voldoende voorwaarden dat een familie van functies van een compacte Hausdorff-ruimte naar een uniforme ruimte compact is in de topologie van uniforme convergentie (Bourbaki (1998) Loc §2.5).

DefinitieBewerken

Een rij   van continue functies op een interval   is op uniforme wijze begrensd als er een getal   bestaat zodanig, dat

 

voor elke functie   uit de rij, en alle  .

De rij is equicontinu, indien voor elke   er een   bestaat zodanig dat

 , als  

voor elke   die tot de rij behoort. Beknopt geformuleerd is een rij dan en slechts dan equicontinu, als alle elementen dezelfde modulus van continuïteit hebben.

In de eenvoudigste termen kan de stelling als volgt worden geformuleerd:

Beschouw een rij van reëelwaardige continue functies   die gedefinieerd zijnop een gesloten en begrensd interval   van de reële lijn. Als deze rij uniform begrensd en equicontinu is, bestaat er een deelrij   die uniform convergeert.

ReferentiesBewerken