Uniforme ruimte

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een uniforme ruimte een verzameling voorzien van een uniforme structuur (uniformiteit).

Uniforme ruimten veralgemenen bepaalde eigenschappen en begrippen van metrische ruimten die weliswaar geen topologische invarianten zijn, maar die nauw verwant zijn met topologische eigenschappen[1], bijvoorbeeld Cauchyrijen en volledigheid, uniforme continuïteit en uniforme convergentie.

Definitie[2]Bewerken

Zij X een verzameling. Een uniformiteit op X is een filter   van deelverzamelingen van de productverzameling   met de eigenschappen:

(1) Iedere deelverzameling   omvat de diagonaal  
(2) Voor iedere deelverzameling   opgevat als relatie tussen X en zichzelf, behoort ook de omgekeerde relatie   tot  
(3) Voor iedere deelverzameling   opgevat als relatie tussen X en zichzelf, bestaat er een   met de eigenschap dat de samengestelde relatie   een deel is van U

Een uniforme ruimte is een geordend tweetal (X,  ) waar X een verzameling is en   een uniformiteit op X.

Uniformiteiten en uniforme ruimten zijn voor het eerst gedefinieerd door André Weil.[3]

Voorbeelden[1]Bewerken

Voor een willekeurige verzameling X vormt het singleton   (de zgn. 'indiscrete filter' op  ) een uniformiteit. Omdat een filter niet leeg mag zijn, is dit de kleinst mogelijke uniformiteit op een verzameling X.

Voor een willekeurige niet-lege verzameling X vormt de verzameling van alle delen van   die de diagonaal omvatten (de verzameling van alle reflexieve relaties op X) een uniformiteit. Omdat elk element van een uniformiteit de diagonaal moet omvatten, is dit de grootst mogelijke uniformiteit op een verzameling X.

Op de verzameling   der reële getallen bestaat de gebruikelijke uniformiteit uit de verzamelingen   met de eigenschap dat er een positief reëel getal r bestaat zodat  

Voortbrenging, basis en subbasisBewerken

Een basis voor een uniformiteit   is een filterbasis voor het filter  ,[2] dat wil zeggen een deelfamilie   van   zodat elk element van   minstens een element van   omvat.

Een subbasis voor   is een deelfamilie   waarvan de eindige doorsneden een basis vormen voor  .[1] Men zegt dat de uniformiteit   door   wordt voortgebracht.