Lijn (meetkunde)

Een lijn of rechte is een eendimensionale structuur zonder kromming, bestaande uit een continue aaneenschakeling van punten. Een lijnstuk is de kortste verbinding tussen twee punten. In Vlaanderen wordt rechte meer gebruikt dan lijn.

Afhankelijk van de context worden in de wiskunde verschillende definities gebruikt. Een nauwkeurige definitie van een lijn en van een punt geven is echter moeilijk, daarom worden in de meetkunde lijnen en punten als basisbegrippen beschouwd. In de wiskunde strekt een lijn zich tot in het oneindige uit en is per definitie recht. Een niet-rechte lijn is dan een kromme.

Er zijn drie soorten rechten te onderscheiden:

• de lijn, een rechte die aan beide kanten onbegrensd doorloopt,
• een halve lijn, ook wel halfrechte of straal, aan één kant begrensd, aan de andere kant oneindig doorlopend en
• een lijnstuk, begrensd door twee punten, met een lengte.

Representatie

Drie lijnen in het xy-vlak

Er zijn verscheidene manieren om een lijn vast te leggen:

• door twee punten $P$ en $Q$ van de lijn te geven, ligt de lijn vast;
• een andere veelgebruikte methode is een punt $P$ op de lijn en een richtingsvector ${\vec {v}}$ te geven;
• door in een cartesisch assenstelsel een vergelijking van de lijn te geven;
• met poolcoördinaten.

In parametervorm

Als in een xy-assenstelsel de punten $P$ en $Q$ gegeven zijn door:

$P=(x_{P},y_{P}),\,Q=(x_{Q},y_{Q})$,

wordt de lijn in geparametriseerde vorm bepaald door:

$(x,y)=(1-t)(x_{P},y_{P})+t(x_{Q},y_{Q})$

Dit kan ook herschreven worden als:

$(x,y)=(x_{P},y_{P})+t(x_{Q}-x_{P},y_{Q}-y_{P})$,

wat overeenkomt met de voorstelling door middel van het punt $P$ en de richtingsvector ${\vec {PQ}}$.

Voor de beide coördinaten geldt:

$x=x_{P}+t(x_{Q}-x_{P})$

$y=y_{P}+t(y_{Q}-y_{P})$

Met een richtingsvector

Als in een xy-assenstelsel het punt $P$ en de richtingsvector $v$ gegeven zijn door:

$P=(x_{0},y_{0}),\,{\vec {v}}=(x_{1},y_{1})$,

wordt de lijn in geparametriseerde vorm bepaald door:

$(x,y)=(x_{0},y_{0})+t(x_{1},y_{1})$,

dus door

$x=x_{0}+tx_{1}$

$y=y_{0}+ty_{1}$

De vergelijking van een lijn

Door eliminatie van de parameter $y$ ontstaat de algemene vergelijking voor een lijn in het xy-assenstelsel:

$px+qy+r=0$

Deze kan voor $q\neq 0$ worden geschreven als:

$y=ax+b$

Voor $q=0$ is de lijn evenwijdig aan de y-as; de vergelijking is:

$x=c$

Daarin is $a$ de richtingscoëfficiënt en $b$ het intercept, de y-waarde van het snijpunt van de lijn met de y-as.

Met de normaalvergelijking van Hesse

De normaalvergelijking van Hesse beschrijft een lijn door middel van een eenheidsvector ${\vec {n}}=(n_{1},n_{2})$ en een reëel getal $d\geq 0$. De vector ${\vec {n}}$ is een normaalvector van de lijn en $d$ is de afstand van de lijn tot de oorsprong. De vergelijking zegt dat het inproduct van ${\vec {n}}$ en een punt ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2})$ van de lijn gelijk is aan $d$:

${\vec {n}}\cdot {\vec {x}}=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}=d$

Poolcoördinaten

In een plat vlak is de vergelijking in poolcoördinaten $(r,\,\theta )$ van een rechte lijn die niet door de oorsprong gaat $r=b/\cos(\theta -\theta _{0})$, waarbij $b$ de afstand van de lijn tot de oorsprong is en $\theta _{0}$de richting loodrecht op de lijn.

Drie dimensies

Op dezelfde manier geldt in drie dimensies voor de lijn door het punt $P$ met richtingsvector $v$, gegeven door:

$P=(x_{0},y_{0},z_{0}),\ {\vec {v}}=(x_{1},y_{1},z_{1})$,

de geparametriseerde vorm:

$(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+t(x_{1},y_{1},z_{1})$

De coördinaatfuncties zijn dus:

$x=x_{0}+tx_{1}$

$y=y_{0}+ty_{1}$

$z=z_{0}+tz_{1}$

Ook hieruit kan weer door eliminatie van de parameter $t$ een voorstelling van de lijn in de vorm van vergelijkingen gevonden worden. Deze voorstelling kunnen we ook bedenken door de lijn als snijlijn van twee vlakken op te vatten, dus voldoend aan elk van de beide vergelijkingen voor de vlakken:

$p_{1}x+q_{1}y+r_{1}z+s_{1}=0$

$p_{2}x+q_{2}y+r_{2}z+s_{2}=0$

Dragers

De drager van een lijnstuk is de lijn door de eindpunten van dat lijnstuk. Deze definitie geldt ook voor de lijn door het begin- en het eindpunt van een vector.

De definitie van een vlakkenwaaier in drie dimensies is de verzameling van alle vlakken door de snijlijn van twee gegeven snijdende vlakken. Die snijlijn heet ook de drager van de vlakkenwaaier.

Websites

• Wikiboek: Analytische ruimtemeetkunde aan de hand van vectoren