Relatie (wiskunde)

wiskunde
(Doorverwezen vanaf Preferentierelatie)

In de wiskunde beschrijft een relatie het verband of de betrekking tussen objecten. Iedere relatie is gedefinieerd tussen (ook: over) een aantal verzamelingen en verbindt, uit deze verzamelingen, de elementen die met elkaar in het bedoelde verband staan. Het aantal verzamelingen waartussen de relatie gedefinieerd is, heet de plaatsigheid of ariteit van de relatie. De relatie is een van de centrale begrippen uit de wiskunde. De meest voorkomende relatie is de tweeplaatsige relatie, die objecten in tweetallen aan elkaar koppelt.

GeschiedenisBewerken

De logicus Augustus De Morgan was rond 1860 de eerste die relaties zoals tegenwoordig bedoeld formaliseerde. Hij kwam ook met de eerste resultaten over relaties.[1] De filosofische definitie[2] van het begrip relatie die De Morgan formuleerde is:

Wanneer twee objecten, eigenschappen, klassen of attributen, tezamen aanschouwd door de geest, in een zeker verband gezien worden, dan wordt dat verband een relatie genoemd.[3]

Merk op dat hier strikt genomen enkel op tweeplaatsige relaties gedoeld wordt.

Na De Morgan publiceerde Charles Sanders Peirce meer resultaten over relaties. Bertrand Russell en Alfred North Whitehead brachten in hun Principia Mathematica[4] veel 19e-eeuwse resultaten samen, over relaties in het algemeen en orderelaties in het bijzonder. Dit werk heeft daarna gediend als de facto standaardreferentie voor vervolgstudie op het gebied van relaties.

DefinitieBewerken

Een  -plaatsige relatie tussen de verzamelingen   is gedefinieerd als een  -tupel  , waarin

 

Dat wil zeggen dat   een natuurlijk getal is en   een deelverzameling is van het cartesisch product van de verzamelingen  . Men noteert voor de relatie ook wel   of noemt eenvoudig de deelverzameling   de relatie.

In sommige systemen van de axiomatische verzamelingenleer worden relaties gedefinieerd op klassen in plaats van verzamelingen. Deze aanpassing is onder andere nodig om de begrippen 'is een element van' en 'is een deelverzameling van' te kunnen beschrijven, zonder dat dit tot de russellparadox leidt.

TerminologieBewerken

Als   een relatie is, wordt   de grafiek van   genoemd en worden de verzamelingen   de domeinen van   genoemd. Men zegt ook dat   een relatie is tussen de verzamelingen  .

Van het element   worden   argumenten van   genoemd. Men zegt ook dat   met elkaar 'in  -relatie staan'. Als uit de context duidelijk is om welke relatie het gaat, wordt ook simpelweg gezegd dat   met elkaar in relatie staan.

Het getal   wordt de plaatsigheid van   genoemd. Men spreekt hierbij van een  -plaatsige relatie.

Als alle domeinen dezelfde verzameling   zijn, spreekt men van een homogene relatie, of van een endorelatie. In dit geval zegt met ook dat   een  -plaatsige relatie op  , of een  -plaatsige over   is.

Voor alle verzamelingen   wordt de relatie  , waarin   de lege verzameling is, de lege relatie over   genoemd.

Voor alle verzamelingen   wordt de relatie  , waarin  , de universele relatie over   genoemd.

NotatieBewerken

De uitspraak "  staan met elkaar in  -relatie", d.w.z.  , wordt op verschillende manieren genoteerd:

  • notatie als booleanwaardige functie (of, afhankelijk van de context, de propositie dat de functiewaarde "waar" is):  
  • Poolse notatie:  

Bij een vierplaatsige relatie   kan men bijvoorbeeld   of   schrijven. Bij een eenplaatsige relatie   wordt dat   of  . Bij tweeplaatsige relaties wordt ook vaak de infixnotatie gebruikt: bijvoorbeeld   voor een tweeplaatsige relatie  .

VoorbeeldBewerken

Als voorbeeld kan men zich de drieplaatsige relatie voorstellen van reizen die mensen in de tijd van het Romeinse Rijk hebben gemaakt. Deze relatie is gedefinieerd over drie verzamelingen: de verzameling van alle mensen, de verzameling van alle vervoermiddelen en de verzameling van alle bestemmingen. Als men uit iedere verzameling één element neemt, geeft deze relatie aan of ze met elkaar in het bedoelde verband staan. Zo verbindt de relatie bijvoorbeeld de volgende elementen met elkaar: Hannibal uit de verzameling van alle mensen, de olifant als vervoermiddel en Rome als bestemming. Neemt men het vliegtuig uit de tweede verzameling, in plaats van de olifant, dan zal de relatie de elementen niet met elkaar verbinden. Dat wil zeggen: 'Hannibal is op een olifant naar Rome gereisd' en 'Hannibal heeft niet het vliegtuig naar Rome genomen'.

Bijvoorbeeld

  • de verzameling mensen  Hannibal, Caesar, Cleopatra 
  • de verzameling vervoermiddelen  boot, olifant, paard, draagstoel 
  • de verzameling bestemmingen  Rome, Carthago, Alexandrië 

De relatie  , een drieplaatsige relatie tussen   en  , wordt vastgelegd door de deelverzameling   van   die bestaat uit de 3-tupels   waarvoor geldt dat   per   naar   heeft gereisd.

Er geldt  Hannibal, olifant, Rome , ook geschreven als  (Hannibal, olifant, Rome), want Hannibal is met olifanten naar Rome getrokken. Ook geldt  Hannibal, boot, Rome , want Hannibal is met zijn olifanten door Spanje getrokken om naar Rome te gaan, dus heeft niet de boot genomen. De uitspraak 'Napoleon is te paard naar Rome gereisd' is wel waar, maar valt buiten het bereik van  .

Tweeplaatsige relatiesBewerken

  Zie Tweeplaatsige relatie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De tweeplaatsige relatie is de meest gebruikte soort relatie en is een van de centrale begrippen uit de wiskunde. Tweeplaatsige relaties worden in alle gebieden van de wiskunde gebruikt. De functie wordt bijvoorbeeld meestal gedefinieerd als een speciaal soort tweeplaatsige relatie en tweeplaatsige relaties met een eigenschap als bijectiviteit worden veelvuldig in bewijzen gebruikt, om bijvoorbeeld gelijkmachtigheid van verzamelingen aan te tonen.

Andere belangrijke toepassingen van tweeplaatsige relaties zijn equivalentierelaties, grafen en de verschillende ordes uit de ordetheorie.

ToepassingenBewerken

LogicaBewerken

In de logica nemen relaties een belangrijke plaats in. De predicaten uit de predicatenlogica komen precies overeen met relaties. Net als eenplaatsige predicaten, kunnen eenplaatsige relaties dan ook gezien worden als model van een eigenschap. In de modale logica spelen tweeplaatsige relaties een belangrijke rol. Terwijl modale logica's vaak computationeel voordeliger zijn dan predicatenlogica, kunnen ze redeneren over tweeplaatsige relaties met veel van de belangrijkste eigenschappen, zoals transitiviteit en reflexiviteit.

AlgebraBewerken

De relationele algebra is gebaseerd op de verzamelingenleer: alle relaties en de resultaten van een relationele operatie zijn verzamelingen. De afbeelding is gedefinieerd als een specifiek soort relatie. Het homomorfisme, een van de centrale begrippen in de algebra, is een specifiek geval van een afbeelding en daarmee specifiek geval van een relatie. Bij gevolg geldt hetzelfde voor de overige morfismen. Een ander in de algebra belangrijk begrip, de operatie, komt overeen met het algemenere begrip afbeelding, dus is ook een specifiek soort relatie.[5]

MeetkundeBewerken

In de meetkunde wordt onder andere congruentie gedefinieerd als een specifieke tweeplaatsige relatie.

AnalyseBewerken

In de analyse worden functies gedefinieerd als een speciaal geval van een tweeplaatsige relatie.

InformaticaBewerken

Een relationele database is een database die volgens het relationele model is opgebouwd. De gegevens worden in tabellen opgeslagen, waarin de rijen de bij elkaar horende groepen informatie, de records, vormen. De tabellen leggen een relatie over de verschillende waardes in de tabel vast.

EconometrieBewerken

De preferentierelatie   van een consument is gedefinieerd als volgt: voor twee "consumptiepakketten" A en B betekent A   B dat de consument B minstens zo graag heeft als A. Deze is reflexief en logischerwijs ook transitief. Het is dus een preorde, en in theorie voor een besluitvaardige en goed geïnformeerde consument ook een totale preorde. Op de verzameling equivalentieklassen van voor deze consument gelijkwaardige consumptiepakketten is er een bijbehorende partiële orde, respectievelijk totale orde.