Lijnvermenigvuldiging

Een lijnvermenigvuldiging (ook wel axiale vermenigvuldiging) is een afbeelding (transformatie) van het euclidische vlak op zichzelf, waarbij twee vaste rechte lijnen en , die niet evenwijdig zijn, en een reëel getal een rol spelen bij het bepalen van het beeldpunt van een punt in dat vlak.

Het beeld van ieder punt bij een lijnvermenigvuldiging wordt als volgt bepaald (zie figuur 1):

  • Het punt (verderop ter onderscheid, bij een punt , ook wel geschreven als ) is het snijpunt met de lijn van de lijn die door het punt gaat en die evenwijdig is met de lijn .
  • Het punt ligt zó op de lijn dat .
  • Als is, dan liggen en aan dezelfde kant van . Is , dan liggen en aan verschillende kanten van (het punt ligt dan op het lijnstuk ).
fig. 1. Definitie lijnvermenigvuldiging

NaamgevingBewerken

De lijn   is de affiniteitsas (of collineatie-as) van  , kortweg ook wel de as van  . De (richting van de) lijn   is de richting van  . Het getal   is de (vermenigvuldigings)factor van  .

Als   en   niet loodrecht op elkaar staan, dan is   scheef: een scheve lijnvermenigvuldiging ten opzichte van de as   met richting  .

Als   loodrecht staat op  , dan is   recht (of orthogonaal): een rechte lijnvermenigvuldiging ten opzichte van de as  . In dit laatste geval wordt het woord ‘rechte’ soms weggelaten.

Als   is, is   de zogeheten identieke afbeelding: voor ieder punt   is dan  .

Een andere definitieBewerken

 
fig. 2. Definitie met   en   op  ;  

De factor   kan ook worden vastgelegd door een gegeven punt   en het beeldpunt   daarvan. Deze punten worden meestal op de lijn   gekozen.

Liggen   en   daarbij aan verschillende kanten van   (het snijpunt van   en  ), dan is   negatief; zie figuur 2, waarin  .

N.B. Als het getal   op deze manier wordt vastgelegd, is de lijnvermenigvuldiging van een punt geheel met passer en (ongemerkte) liniaal uit te voeren. Het op de lijn   liggend punt   van de verbindingslijn tussen   en het te vermenigvuldigen punt   speelt daarbij een ‘intermediërende’ rol.

EigenschappenBewerken

In deze paragraaf is   een scheve of rechte lijnvermenigvuldiging t.o.v. de as  , met richting   en met  .

  • De lijn   is invariant onder  : voor ieder punt   van   is  .
  • De lijn   wordt niet puntsgewijs op zichzelf afgebeeld: voor ieder punt   van   geldt dat   op de lijn   ligt, waarbij dan   (als  , dan is  , en die waarde is uitgesloten).
  • Een rechte lijn wordt door   afgebeeld op een rechte lijn. Het snijpunt van een lijn en diens beeldlijn ligt op de lijn   (mits die lijn niet evenwijdig is met  ).
  • Een deelverhouding [1] op een lijnstuk is gelijk aan de (door   ingesneden) deelverhouding op het beeldlijnstuk; zie figuur 3, waarin  .
  • Evenwijdige lijnen worden door   afgebeeld op evenwijdige lijnen; zie figuur 4.

Op grond van deze eigenschappen behoren de lijnvermenigvuldigingen tot de zogeheten affiene transformaties van het vlak.

 
fig. 3. Deelverhouding is invariant
 
fig. 4. Evenwijdigheid is invariant

Twee toepassingenBewerken

 
fig. 5. Toepassing op de grafiek van een functie

1. Bij grafieken van functies (in een standaard  -assenstelsel) wordt de lijnvermenigvuldiging gebruikt bij verticaal en horizontaal vermenigvuldigen van (de grafiek van) de functie (richtingverschaling); dat wil zeggen:

a. verticaal vermenigvuldigen – het toepassen van een (rechte) lijnvermenigvuldiging t.o.v. de  -as;
b. horizontaal vermenigvuldigen – het toepassen van een (rechte) lijnvermenigvuldiging t.o.v. de  -as.

Voorbeeld. In figuur 5 is de grafiek van de functie   weergegeven op het interval  . Het beeld van (de grafiek van)   is bepaald met de verticale vermenigvuldiging   waarbij  ; daarbij is  . De grafiek van het  -beeld van de grafiek van   heeft daarmee het voorschrift:

 

In dezelfde figuur is op   ook de horizontale vermenigvuldiging   met   toegepast, beperkt tot het interval   op de  -as. Daarbij is   en  .

Is nu  , voor  , dan is: [2]

 

zodat:

  en  

Omdat zo’n punt   op de grafiek van   ligt, geldt ook:

 

Daaruit volgt door substitutie:

 

Het functievoorschrift van het  -beeld van de (grafiek van de) functie   is dan:

 
 
fig. 6. Toepassing op een cirkel

2. In de meetkunde wordt de lijnvermenigvuldiging gebruikt bij de analytische behandeling van de ellips: het beeld van een cirkel bij een rechte (of scheve) lijnvermenigvuldiging t.o.v. een middellijn van die cirkel is namelijk een ellips.

Voorbeeld. Zie figuur 6, waarin   een middellijn is van de cirkel  . De vergelijking van  , met middelpunt   en straal  , is in een standaard  -assenstelsel:

 

Voor een punt   op   is  , waarbij   de (veranderlijke) hoek is tussen de positieve  -as en het lijnstuk   (met  ).

Wordt op   de verticale vermenigvuldiging   toegepast met factor   (hier is  ), dan geldt voor  :

  of ook:  

Dus is:

 

Kwadrateren geeft nu de relatie:

 

De meetkundige plaats van de punten   bij veranderende waarden van   heeft dan de vergelijking:

 

Dit is de vergelijking van een ellips met middelpunt   waarvan de lengtes van de halve assen gelijk zijn aan   en  .

In figuur 6 is ook de cirkel  , met middelpunt   en straal  , weergegeven. Voor het snijpunt   van   met   is  .

Wordt nu op de cirkel   de horizontale vermenigvuldiging   met factor   toegepast, dan geldt voor het beeldpunt   van  :

 

En daaruit blijkt dat de horizontale vermenigvuldiging van de cirkel   hetzelfde effect heeft als de verticale vermenigvuldiging van de cirkel  : in beide gevallen is dat de ellips met middelpunt   en halve assen   en  .

Uitbreiding tot Bewerken

 
fig. 7. Definitie en toepassing in  

De lijn   moet in de driedimensionale euclidische ruimte vervangen worden door een vlak   om ook in die ruimte een dergelijke vermenigvuldiging met richting   te kunnen definiëren: een vlakvermenigvuldiging  . De lijn   moet daarbij het vlak   snijden.

De constructie van het beeldpunt   van   gaat in dit geval als volgt; zie figuur 7.

  1. De lijn   gaat door het punt   en is evenwijdig met de lijn  .
  2. Het punt   is het snijpunt van de lijn   met het vlak  .
  3. Het punt   ligt zó op de lijn   dat  . Als   is, dan liggen   en   aan dezelfde kant van  ; is  , dan liggen   en   aan verschillende kanten van   (dus aan verschillende kanten van het vlak  ).

Zie ookBewerken

Externe linksBewerken