Icosahedrale symmetrie

Volledige icosahedrale symmetrie (met ook wel eens icosaedrale of icosaedrische als tweede woord, al of niet met trema) is de symmetrie van onder meer het regelmatig twaalfvlak (dodecaëder), het regelmatig twintigvlak (icosaëder), en de als voetbal zeer bekende afgeknotte icosaëder.[1]

Vooraanzicht van de bol die weergeeft, met rotatie-assen en fundamenteel domein. De verbindende grote cirkels geven aan waar bij de spiegelvlakken de bol snijden. Alle rotatieassen die niet op de rand staan aangegeven, en de aangegeven grote cirkels, zijn ook van toepassing op dezelfde plaats aan de achterkant.
Fundamenteel domein 01.svg fundamenteel domein
Wallpaper group diagram legend rotation2.svg tweevoudige rotatie-as
Wallpaper group diagram legend rotation3.svg drievoudige rotatie-as
Vijfhoek rotatie-as.svg vijfvoudige rotatie-as
De zwarte lijnen geven de spiegelvlakken aan.
de cyclus 525323

Chirale icosahedrale symmetrie is de symmetrie van onder meer de stompe dodecaëder en de vijfhoekige hexacontaëder (van elk twee versies die elkaars spiegelbeeld zijn).

Het zijn twee vormen van polyhedrale symmetrie. Volledige icosahedrale symmetrie is met spiegeling en heeft symmetriegroep van orde 120. Chirale icosahedrale symmetrie is zonder spiegeling en heeft symmetriegroep van orde 60.

Beide symmetriegroepen hebben de volgende assen van rotatiesymmetrie met het volgende aantal punten waar ze het oppervlak van een convex object met icosahedrale symmetrie snijden (het aantal assen is steeds de helft):

  • 12 van orde 5. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van vijfhoeken en tienhoeken, en door hoekpunten waar 5 gelijke hoeken samenkomen.
  • 20 van orde 3. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van driehoeken en zeshoeken, en door hoekpunten waar 3 gelijke hoeken samenkomen.
  • 30 van orde 2. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van ribben waar twee gelijke zijvlakken aan elkaar grenzen, de middens van zijvlakken die regelmatige veelhoeken met een even aantal hoeken zijn, de middens van ruiten, en hoekpunten waar vier gelijke hoeken samenkomen.

Het aantal maal de orde is steeds 60, de orde van .

De volledige versie heeft verder 15 spiegelvlakken. In termen van de orde van de gepasseerde rotatiepunten volgen de corresponderende grote cirkels de cyclus (525323), twee cycli voor een grote cirkel. Ze gaan gezamenlijk door alle rotatiepunten, en wel zovaak als de orde is. De spiegelvlakken gaan in de voorbeelden loodrecht door de middens van ribben, langs ribben en door hoekpunten. Het fundamenteel domein is de driehoek 235, 1/120 deel van het veelvlak. Het bekijken van het fundamenteel domein kan het overzichtelijker maken om figuren met een bepaalde symmetrie te onderscheiden en vergelijken.

I is algebraïsch de alternerende groep A5, de even permutaties van 5 elementen. De 20 hoekpunten van een dodecaëder kunnen namelijk, op twee manieren, over 5 groepen van 4 worden verdeeld, die elk de hoekpunten vormen van een viervlak. De elementen van corresponderen 1-op-1 met de even permutaties van de 5 tetraëders. = Ci, dus algebraïsch A5 × C2.

Veelvlakken met volledige icosahedrale symmetrieBewerken

De twee regelmatige veelvlakkenBewerken

Er zijn twee regelmatige veelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie:[2]

Nederlandse naam Griekse naam Afbeelding Hoekpunten per vlak Vlakken per hoekpunt (valentie) Vlakken (regelmatig) Ribben Hoekpunten Schläfli-symbool Symmetriegroep
regelmatig twaalfvlak dodecaëder   5 3 12 30 20 {5, 3}  
regelmatig twintigvlak icosaëder   3 5 20 30 12 {3, 5}  

De vijf archimedische lichamenBewerken

Er zijn vijf archimedische lichamen met volledige icosahedrale symmetrie. De bolvormige variant van de afgeknotte icosaëder is zeer bekend als voetbal.

Naam
(hoekpuntconfiguratie)
Afbeelding Openvouwing Vlakken Soort vlakken (regelmatig) Ribben Hoekpunten Symmetriegroep
icosidodecaëder
(3.5.3.5)
 
(Animatie)
  32 20 driehoeken
12 vijfhoeken
60 tussen een driehoek en een vijfhoek;
het veelvlak is quasiregelmatig, dat wil zeggen dat het ook ribbetransitief is
30  
afgeknotte dodecaëder
(3.10.10)
 
(Animatie)
  32 20 driehoeken
12 tienhoeken
90 (60 tussen een driehoek en een tienhoek en 30 tussen een twee tienhoeken) 60  
afgeknotte icosaëder
(5.6.6)
 
(Animatie)
  32 12 vijfhoeken
20 zeshoeken
90 (60 tussen een vijfhoek en een zeshoek en 30 tussen een twee zeshoeken) 60  
rombische icosidodecaëder
of kleine rombische icosidodecaëder
(3.4.5.4)
 
(Animatie)
  62 20 driehoeken
30 vierkanten
12 vijfhoeken
120 (60 tussen een vierhoek en een vijfhoek en 60 tussen een driehoek en een vierkant) 60  
afgeknotte icosidodecaëder
of grote rombische icosidodecaëder
(4.6.10)
 
(Animatie)
  62 30 vierkanten
20 zeshoeken
12 tienhoeken
180 (60 tussen een tienhoek en een zeshoek, 60 tussen een tienhoek en een vierkant, en 60 tussen een vierkant en een driehoek) 120  

Een aanduiding als 3.5.3.5 (hoekpuntconfiguratie) geeft in volgorde aan welke regelmatige veelhoeken bij elk hoekpunt samenkomen.

De laatste, met de meeste hoekpunten, heeft de bijzonderheid dat dit aantal gelijk is aan de orde van de symmetriegroep. Er is dus geen niet-triviale isometrie die een hoekpunt op zichzelf afbeeldt. De assen en spiegelvlakken gaan dus niet door hoekpunten. Het is dan ook de enige van de vijf veelvlakken met een hoekpuntconfiguratie waarvan de cyclus in omgekeerde richting anders is.

De vijf catalanlichamenBewerken

Er zijn vijf catalanlichamen met volledige icosahedrale symmetrie.

naam afbeelding archimedisch lichaam openvouwing vlakken ribben hoekpunten symmetriegroep
rombische triacontaëder  
Animatie
icosidodecaëder   30 ruiten V3.5.3.5 60
het veelvlak is ribbetransitief
32  
driehoekige icosaëder  
Animatie
afgeknotte dodecaëder   60 gelijkbenige driehoeken V3.10.10 90 (30 lange en 60 korte) 32  
pentakische dodecaëder  
Animatie
afgeknotte icosaëder   60 gelijkbenige driehoeken V5.6.6 90 (waarvan 30 iets langer dan de andere) 32  
deltaëdrische hexacontaëder  
Animatie
rombische icosidodecaëder   60 vliegers V3.4.5.4 120 (60 lange en 60 korte) 62  
disdyakische triacontaëder  
Animatie
afgeknotte icosidodecaëder   120 bijna rechthoekige driehoeken V4.6.10 180 (60 lange, 60 middellange en 60 korte) 62  

Een aanduiding als V3.5.3.5 geeft voor elke hoek van de veelhoek aan hoeveel daarvan samenkomen. De hoeken in het corresponderende bolvormige veelvlak zijn 360° gedeeld door het getal, de hoeken van de vlakke veelhoek zijn iets kleiner.

ConwayveelvlakkenBewerken

Geodetische en goldbergveelvlakkenBewerken

Constructie van {3,5+}6,0 uit {3,5+}1,0
 
Constructie van {3,5+}3,3 uit {5+,3}1,0 via {3,5+}1,1
 

Geodetische veelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie worden aangeduid als {3,5+}m,n met gehele getallen   en  , en  , en   (klasse I) of   (klasse II).   is het triangulatiegetal, gegeven door  , dus respectievelijk   en  . Ze kunnen worden geconstrueerd als in de figuur.

{3,5+}m,0 heeft   hoekpunten,   ribben en   zijvlakken.

{3,5+}m,m heeft   hoekpunten,   ribben en   zijvlakken.

Bij de geodetische veelvlakken in klasse   bestaat de verbindingslijn tussen twee nabije 5-valente hoekpunten uit   ribben. In klasse II bevinden zich er   driehoeken tussen.   geeft aan met welke factor het aantal driehoeken wordt vermenigvuldigd ten opzichte van dat van het regelmatig twaalfvlak.

Er bestaan eenduidige duale versies hiervan, de goldbergveelvlakken, met vlakke zijvlakken en behoud van symmetrie.[3] Ze worden aangeduid als {5+,3}m,n.

Er geldt dus:

{5+,3}m,0 heeft   zijvlakken,   ribben en   hoekpunten.

{5+,3}m,m heeft   zijvlakken,   ribben en   hoekpunten.

Twee nabije vijfhoeken hebben bij de goldbergveelvlakken in klasse   hun zijden naar elkaar gekeerd, en ertussen bevinden zich   zeshoeken. Nabije vijfhoeken in klasse II hebben hun hoeken naar elkaar gekeerd, en er zijn langs de verbindingslijn   ribben en   zeshoeken, om en om.

{5+,3}1,0 is een regelmatig veelvlak en {5+,3}1,1 een archimedisch lichaam, de zeshoeken zijn dus regelmatig. Bij de overige goldbergveelvlakken zijn alle zeshoeken of een deel ervan onregelmatig: de zijden zijn wel even lang, maar de hoeken zijn niet gelijk. Zo heeft bijvoorbeeld {5+,3}2,0 zeshoeken met twee hoeken van 116,6°, die waar drie zeshoeken samenkomen, en vier van 121,7°.[4]

Uit {3,5+}m,0 wordt {3,5+}km,0 geconstrueerd volgens de eerste rij afbeeldingen. Uit {3,5+}m,m wordt dit {3,5+}km,km. Uit {5+,3}m,0 wordt {3,5+}m,m geconstrueerd door 12 vijfhoeken te verdelen in elk vijf driehoeken en   zeshoeken in elk zes driehoeken, zodat er   driehoeken ontstaan. Uit {5+,3}m,m ontstaat zo {3,5+}2m,0.

Hieronder volgt een tabel met geselecteerde geodetische veelvlakken en bijbehorende goldbergveelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie. De kolom Zijvlakkendriehoek geeft voor de geodetische veelvlakken de zijvlakken aan tussen drie nabije 5-valente hoekpunten. Voor de goldbergveelvlakken geven de hoekpunten van de gelijkzijdige driehoeken in de figuur de zijvlakken aan tussen (en inclusief) drie nabije vijfhoeken.

m n   Klasse Hoekpunten
(geodetisch)
Zijvlakken
(goldberg)
 
Ribben
 
Zijvlakken
(geodetisch)
Hoekpunten
(goldberg)
 
Zijvlakken-
driehoek
Geodetisch Goldberg
Symbolen Conway Afbeelding Symbolen Conway Afbeelding
1 0 1 I 12 30 20   {3,5}
{3,5+}1,0
I   {5,3}
{5+,3}1,0
GP5(1,0)
D  
2 0 4 I 42 120 80   {3,5+}2,0 uI
dcdI
  {5+,3}2,0
GP5(2,0)
cD  
3 0 9 I 92 270 180   {3,5+}3,0 xI
ktI
  {5+,3}3,0
GP5(3,0)
yD
tkD
 
4 0 16 I 162 480 320   {3,5+}4,0 uuI
dccD
  {5+,3}4,0
GP5(4,0)
c2D  
5 0 25 I 252 750 500   {3,5+}5,0 u5I

u5I

  {5+,3}5,0
GP5(5,0)
c5D  
6 0 36 I 362 1080 720   {3,5+}6,0 uxI
dctkdI
  {5+,3}6,0
GP5(6,0)
cyD
ctkD
 
7 0 49 I 492 1470 980   {3,5+}7,0 vvI
dwrwdI
  {5+,3}7,0
GP5(7,0)
wwD
wrwD
 
8 0 64 I 642 1920 1280   {3,5+}8,0 u3I
dcccdI
  {5+,3}8,0
GP5(8,0)
cccD  
9 0 81 I 812 2430 1620   {3,5+}9,0 xxI
ktktI
  {5+,3}9,0
GP5(9,0)
yyD
tktkD
 
10 0 100 I 1002 3000 2000   {3,5+}10,0 uu5I

uu5I

  {5+,3}10,0
GP5(10,0)
cc5D  
11 0 121 I 1212 3630 2420   {3,5+}11,0 u11I

u11I

  {5+,3}11,0
GP5(11,0)
c11D
12 0 144 I 1442 4320 2880   {3,5+}12,0 uuxD
dcctkD
  {5+,3}12,0
GP5(12,0)
ccyD
cctkD
 
13 0 169 I 1692 5070 3380   {3,5+}13,0 u13I

u13I

  {5+,3}13,0
GP5(13,0)
c13D
14 0 196 I 1962 5880 3920   {3,5+}14,0 uvvI
dcwwdI
  {5+,3}14,0
GP5(14,0)
cwrwD  
15 0 225 I 2252 6750 4500   {3,5+}15,0 u5xI
u5ktI
  {5+,3}15,0
GP5(15,0)
c5yD
c5tkD
 
16 0 256 I 2562 7680 5120   {3,5+}16,0 dc4dI   {5+,3}16,0
GP5(16,0)
ccccD  
1 1 3 II 32 90 60   {3,5+}1,1 kD   {5+,3}1,1
GP5(1,1)
yD
ktD
 
2 2 12 II 122 360 240   {3,5+}2,2 unI
=dctI
  {5+,3}2,2
GP5(2,2)
czD
cdkD
 
3 3 27 II 272 810 540   {3,5+}3,3 xnI
ktkD
  {5+,3}3,3
GP5(3,3)
yzD
tkdkD
 
4 4 48 II 482 1440 960   {3,5+}4,4 u2nI
dcctI
  {5+,3}4,4
GP5(4,4)
c2zD
cctI
 
5 5 75 II 752 2250 1500   {3,5+}5,5 u5nI   {5+,3}5,5
GP5(5,5)
c5zD  
6 6 108 II 1082 3240 2160   {3,5+}6,6 uxnI
dctktI
  {5+,3}6,6
GP5(6,6)
cyzD
ctkdkD
 
7 7 147 II 1472 4410 2940   {3,5+}7,7 vvnI
dwrwtI
  {5+,3}7,7
GP5(7,7)
wwzD
wrwdkD
 
8 8 192 II 1922 5760 3840   {3,5+}8,8 u3nI
dccckD
  {5+,3}8,8
GP5(8,8)
c3zD
ccctI
 
9 9 243 II 2432 7290 4860   {3,5+}9,9 xxnI
ktktkD
  {5+,3}9,9
GP5(9,9)
yyzD
tktktI
 
12 12 432 II 4322 12960 8640   {3,5+}12,12 uuxnI
dccdktkD
  {5+,3}12,12
GP5(12,12)
ccyzD
cckttI
 
14 14 588 II 5882 17640 11760   {3,5+}14,14 uvvnI
dcwwkD
  {5+,3}14,14
GP5(14,14)
cwwzD
cwrwtI
 
16 16 768 II 7682 23040 15360   {3,5+}16,16 uuuunI
dcccctI
  {5+,3}16,16
GP5(16,16)
cccczD
cccctI
 

Fundamenteel domeinBewerken

Het fundamenteel domein is de driehoek tussen nabije assen met orde 2, 3 en 5, dit is 1/120 deel van het veelvlak. Als illustratie van het bepalen van het aantal zijvlakken enz. door die in het fundamenteel domein te tellen (ook bij andere veelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie) wordt dit hier gedaan bij de afgebeelde selectie goldbergveelvlakken.

Het fundamenteel domein bevat altijd 1/10 vijfhoek, en verder:

bij een regelmatig twaalfvlak niets, bij een afgeknotte icosaëder een vliegervormige 1/6 zeshoek, bij een ribbe-afgeknotte dodecaëder 1/4 zeshoek, bij een afgeknotte pentakisdodecaëder een vijfhoekige 1/2 zeshoek en een driehoekige 1/6 zeshoek, bij een ribbe-afgeknotte afgeknotte icosaëder een vijfhoekige 1/2 zeshoek, 1/4 zeshoek en een driehoekige 1/6 zeshoek, bij tktI vier vijfhoekige halve zeshoeken en een vliegervormige 1/6 zeshoek, bij ctkD een hele zeshoek, drie vijfhoekige halve zeshoeken, 1/4 zeshoek en een vliegervormige 1/6 zeshoek. Het hele veelvlak heeft dus steeds 12 vijfhoeken en resp. 0, 20, 30, 80, 110, 260 en 350 zeshoeken.

Op dezelfde manier kan het aantal hoekpunten bepaald worden, maar dan telt een hoekpunt wel slechts mee voor een gedeelte dat correspondeert met het aantal exemplaren van het fundamenteel domein waar het aan grenst (1, 2, 4, 6 of 10). Zo gerekend is het aantal hoekpunten in het fundamenteel domein resp. 1/6, 1/2, 2/3, 1 1/2, 2, 4 1/2 en 6, en in totaal dus resp. 20, 60, 80, 180, 240, 540 en 720. Evenzo telt bij het bepalen van het aantal ribben in het fundamenteel domein een gedeeltelijk ribbe slechts voor dat deel, en bovendien gehalveerd als deze langs de rand van het fundamenteel domein loopt. De formule van Euler voor veelvlakken kan worden gebruikt om de berekeningen te beperken of te controleren. Een en ander gaat analoog bij een andere symmetrie.

Recapitulerend ter vergelijking:

Bij {5+,3}m,0 hebben twee nabije vijfhoeken hun zijden naar elkaar gekeerd, en bevinden zich er   zeshoeken tussen. Het heeft 12 vijfhoeken en   zeshoeken,   ribben en   hoekpunten.

Bij {5+,3}m,m hebben nabije vijfhoeken hun hoeken naar elkaar gekeerd, en zijn er langs de verbindingslijn   ribben en   zeshoeken. Het heeft 12 vijfhoeken en   zeshoeken,   ribben en   hoekpunten.

Als bij de afgebeelde figuur met volledige icosahedrale symmetrie lijnen slechts worden opgevat als verdeling in de 120 fundamentele domeinen dan zijn er per stuk 1/10 tienhoek en 1/6 zeshoek, als het ribben zijn dan zijn er per fundamenteel domein een rode en een gele driehoek. Het hele oppervlak heeft dus respectievelijk 12 tienhoeken en 20 zeshoeken (gekromd) of 120 rode en 120 gele driehoeken. Per fundamenteel domein zijn er respectievelijk 1 en 3 ribben, dus in totaal respectievelijk 120 en 360. Per fundamenteel domein zijn er respectievelijk 3/4 en 61/60 hoekpunten, dus in totaal respectievelijk 90 en 122.

Veelvlakken met chirale icosahedrale symmetrieBewerken

De twee chirale archimedische lichamenBewerken

Er zijn twee archimedische lichamen met chirale icosahedrale symmetrie. Ze zijn elkaars spiegelbeeld.

Naam
(hoekpuntconfiguratie)
Afbeelding Openvouwing Vlakken Soort vlakken (regelmatig) Ribben Hoekpunten Symmetriegroep
stompe dodecaëder
of afgeknotte icosidodecaëder
(2 chirale vormen)
(3.3.3.3.5)
 
(Animatie)
 
(Animatie)
  92 80 driehoeken
12 vijfhoeken
150 60  

De twee chirale catalanlichamenBewerken

Er zijn twee catalanlichamen met chirale icosahedrale symmetrie. Ze zijn elkaars spiegelbeeld. Hieronder wordt er één getoond.

naam afbeelding archimedisch lichaam openvouwing vlakken ribben hoekpunten symmetriegroep
vijfhoekige hexacontaëder  
Animatie
stompe dodecaëder   60 vliegerachtige spiegelsymmetrische vijfhoeken met 4 gelijke hoeken V3.3.3.3.5 150 (60 lange en 90 korte) 92  

Chirale conwayveelvlakkenBewerken

Chirale geodetische en goldbergveelvlakkenBewerken

Geodetische veelvlakken met chirale icosahedrale symmetrie worden aangeduid als {3,5+}m,n en {5+,3}m,n met gehele getallen  , en   (klasse III). Verwisselen van   and   geeft de gespiegelde versie.   is het triangulatiegetal, gegeven door  .

Er bestaan eenduidige duale versies hiervan, de goldbergveelvlakken, met vlakke zijvlakken en behoud van symmetrie.[3] Ze worden aangeduid als {5+,3}m,n.

Bij de goldbergveelvlakken zijn alle zeshoeken of een deel ervan onregelmatig: de zijden zijn wel even lang, maar de hoeken zijn niet gelijk.

Hieronder volgt een tabel met geselecteerde geodetische veelvlakken en bijbehorende goldbergveelvlakken met chiralee icosahedrale symmetrie, met van enantiomorfe paren steeds maar een van de twee, met  . De kolom Zijvlakkendriehoek geeft voor de geodetische veelvlakken de zijvlakken aan tussen drie nabije 5-valente hoekpunten. Voor de goldbergveelvlakken geven de hoekpunten van de gelijkzijdige driehoeken in de figuur de zijvlakken aan tussen (en inclusief) drie nabije vijfhoeken.

m n   Klasse Hoekpunten
(geodetisch)
Zijvlakken
(goldberg)
 
Ribben
 
Zijvlakken
(geodetisch)
Hoekpunten
(goldberg)
 
Zijvlakken-
driehoek
Geodetisch Goldberg
Symbolen Conway Afbeelding Symbolen Conway Afbeelding
2 1 7 III 72 210 140   {3,5+}2,1 vI
dwD
  {5+,3}2,1
GP5(2,1)
wD  
3 1 13 III 132 390 260   {3,5+}3,1 v3,1I   {5+,3}3,1
GP5(3,1)
w3,1D  
3 2 19 III 192 570 380   {3,5+}3,2 v3I   {5+,3}3,2
GP5(3,2)
w3D  
4 1 21 III 212 630 420   {3,5+}4,1 dwtI   {5+,3}4,1
GP5(4,1)
wkI  
4 2 28 III 282 840 560   {3,5+}4,2 vnI
dwtI
  {5+,3}4,2
GP5(4,2)
wdkD  
4 3 37 III 372 1110 740   {3,5+}4,3 v4I {5+,3}4,3
GP5(4,3)
w4D  
5 1 31 III 312 930 620   {3,5+}5,1 u5,1I {5+,3}5,1
GP5(5,1)
w5,1D  
5 2 39 III 392 1170 780   {3,5+}5,1 u5,1I   {5+,3}5,1
GP5(5,1)
w5,1D  
5 3 49 III 492 1470 980   {3,5+}5,3 vvI
dwwD
  {5+,3}5,3
GP5(5,3)
wwD  
6 2 52 III 522 1560 1040   {3,5+}6,2 v3,1uI   {5+,3}6,2
GP5(6,3)
w3,1cD  
6 3 63 III 632 1890 1260   {3,5+}6,3 vxI
dwdktI
  {5+,3}6,3
GP5(6,3)
wyD
wtkD
 
8 2 84 III 842 2520 1680   {3,5+}8,2 vunI
dwctI
{5+,3}8,2
GP5(8,2)
wczD
wcdkD
 
8 4 112 III 1122 3360 2240   {3,5+}8,4 vuuI
dwccD
{5+,3}8,4
GP5(8,4)
wccD  
11 2 147 III 1472 4410 2940   {3,5+}11,2 vvnI
dwwtI
{5+,3}11,2
GP5(11,2)
wwzD  
12 3 189 III 1892 5670 3780   {3,5+}12,3 vxnI
dwtktktI
{5+,3}12,3
GP5(12,3)
wyzD
wtktI
 
10 6 196 III 1962 5880 3920   {3,5+}10,6 vvuI
dwwcD
{5+,3}10,6
GP5(10,6)
wwcD  
12 6 252 III 2522 7560 5040   {3,5+}12,6 vxuI
dwdktcI
{5+,3}12,6
GP5(12,6)
cywD
wctkD
 
16 4 336 III 3362 10080 6720   {3,5+}16,4 vuunI
dwdckD
{5+,3}16,4
GP5(16,4)
wcczD
wcctI
 
14 7 343 III 3432 10290 6860   {3,5+}14,7 vvvI
dwrwwD
{5+,3}14,7
GP5(14,7)
wwwD
wrwwD
 
15 9 441 III 4412 13230 8820   {3,5+}15,9 vvxI
dwwtkD
{5+,3}15,9
GP5(15,9)
wwxD
wwtkD
 
16 8 448 III 4482 13440 8960   {3,5+}16,8 vuuuI
dwcccD
{5+,3}16,8
GP5(16,8)
wcccD  
18 1 343 III 3432 10290 6860 {3,5+}18,1 vvvI
dwwwD
{5+,3}18,1
GP5(18,1)
wwwD  
18 9 567 III 5672 17010 11340 {3,5+}18,9 vxxI
dwtktkD
{5+,3}18,9
GP5(18,9)
wyyD
wtktkD
 
20 12 784 III 7842 23520 15680 {3,5+}20,12 vvuuI
dwwccD
{5+,3}20,12
GP5(20,12)
wwccD  
20 17 1029 III 10292 30870 20580 {3,5+}20,17 vvvnI
dwwwtI
{5+,3}20,17
GP5(20,17)
wwwzD
wwwdkD
 
28 7 1029 III 10292 30870 20580 {3,5+}28,7 vvvnI
dwrwwdkD
{5+,3}28,7
GP5(28,7)
wwwzD
wrwwdkD
 

ConstructieBewerken

Een object met volledige icosahedrale symmetrie kan met behoud van symmetrie gewijzigd worden door op de 12 plaatsen waar de assen van orde 5 het oppervlak snijden dezelfde wijziging aan te brengen met plaatselijk behoud van de rotatie- en spiegelsymmetrie, bijvoorbeeld door een vijfhoekig zijvlak te vervangen door een samenstel van vijf driehoeken (zie ook geodetische bol), of door de ribben van het zijvlak af te knotten, of door een hoekpunt waar vijf driehoeken samenkomen af te knotten.

Uiteraard hoeft het object geen veelvlak te zijn, het oppervlak kan ook gekromd zijn. Veel variatie is ook mogelijk door beschildering, met behoud van de symmetrie. Iedere invulling is mogelijk van het fundamenteel domein, dat bestaat uit een 3D-sector tussen drie assen.