Regelmatig twaalfvlak

Een regelmatig twaalfvlak, of dodecaëder, is een ruimtelijke figuur met 12 vijfhoekige vlakken, 20 hoekpunten en 30 ribben. Het is een van de vijf regelmatige veelvlakken in drie dimensies (ook platonische lichamen genoemd). Het heeft icosahedrale symmetrie.

Regelmatig twaalfvlak
Dodecaëder
Plato-12.png
Type platonisch lichaam
Zijden regelmatige vijfhoeken
Zijvlakken 12
Hoekpunten 20
Ribben 30
Zijvlakken per hoekpunt 3
Ribben per zijvlak 5
Duale vorm regelmatig twintigvlak
Opengesneden twaalfvlak
Opengesneden twaalfvlak
De vijf platonische lichamen: viervlak · zesvlak · achtvlak · twaalfvlak · twintigvlak

Aantal ribben en hoekpuntenBewerken

Het regelmatig twaalfvlak heeft 30 ribben want in totaal zijn er 12 regelmatige vijfhoeken en elke ribbe van een zo’n vijfhoek vormt samen met een ribbe van een naastgelegen vijfhoek één ribbe van een regelmatig twaalfvlak. Het totaal aantal ribben is dus:   ribben.

Hetzelfde geldt voor het aantal hoekpunten. In elke punt komen drie hoeken samen. Het regelmatig twaalfvlak heeft dus   hoekpunten.

FormulesBewerken

Maten van een regelmatig twaalfvlak met riblengte z
Inhoud  
Oppervlakte  
Radius van de omgeschreven bol
(rakend aan de hoekpunten)
 
Radius van de bol
rakend aan de ribben
 
Radius van de ingeschreven bol
(rakend aan de vlakken)
 
Verhouding van de inhoud V
tot de inhoud van omgeschreven bol
 
Hoek α tussen twee
aangrenzende vlakken
≈ 116° 33′ 54″ (116,5651°)
 
Hoek β tussen vlak en rib
≈ 121° 43′ 3″ (121,7175°)
 

TriviaBewerken

  • In de Gallo-Romeinse musea van Tongeren, Poitiers, en Lyon bevinden zich interessante regelmatige twaalfvlakken uit de Romeinse tijd, waarvan het toenmalig gebruik onbekend blijft.
  • In het Rijksmuseum van Oudheden te Leiden zijn twee regelmatige twaalfvlakken voor het publiek te aanschouwen.
  • Er bestaat een puzzel in de vorm van het regelmatige twaalfvlak, genaamd de Megaminx. Het ligt een beetje in de lijn van de Rubiks kubus, maar met ongeveer 1,01×1068 mogelijke oplossingen.

HypotheseBewerken

 
Romeinse dodecaëder in brons uit Tongeren, 150-400 n.Chr., Gallo-Romeins Museum (Tongeren)

Uit de antieke oudheid zijn geen geschreven bronnen bekend over de meer dan 100 pentagon-dodecaëders die zijn aangetroffen in de noordwestelijke provincies van het Romeinse rijk. In de voorbije eeuwen hebben talloze onderzoekers evenveel verschillende hypothesen geopperd over het gebruik van deze mysterieuze voorwerpen: meetinstrumenten, kalenders, dobbelstenen voor orakels, speelgoed, proefstukken voor leerling-bronsbewerkers, kandelaars...[1]

De Romeinse pentagonale dodecaëder was mogelijk een astronomisch meetinstrument voor het vastleggen van de optimale zaaidatum van de wintergranen (wintergerst en wintertarwe). De belangrijkste aanwijzing daarvoor is het feit dat ook het regelmatig twintigvlak, waarvan slechts een exemplaar is gevonden, volledig past in deze hypothese. Met replica's van het regelmatige twaalf- en twintigvlak kon worden aangetoond dat met beide meetinstrumenten op de dag nauwkeurig de datum kon worden vastgelegd.[2] Anderzijds werd ook aangetoond dat een dodecaëder gebruikt kan worden om handschoenen te breien.[3]

Het lijkt evenwel onwaarschijnlijk dat Romeinse dodecaëders echt een praktisch nut hadden. Dat ze ergens voor gebruikt kunnen worden, betekent nog niet dat ze daarvoor effectief gebruikt werden door de Romeinen. Alle bewaarde exemplaren verschillen immers van elkaar qua afmetingen en qua grootte en positie van de openingen. Waarschijnlijk waren het eerder voorwerpen uit de magische sfeer. Antieke bronnen bevestigen de magische betekenis van de dodecaëder als meetkundige vorm. In de kosmologie van Plato symboliseert de dodecaëder het universum. Uit Genève zijn ook 4de eeuwse Romeinse dodecaëdervormige dobbelstenen bekend met de tekens van de dierenriem, bedoeld om de toekomst te voorspellen. Bovendien is in Krefeld in een 4de eeuws Romeins graf van een voorname vrouw een dodecaëder gevonden die als een soort scepterkop op een benen staf gemonteerd was. Waarschijnlijk werden er aan dodecaëders en hun eigenaars dus magische krachten toegeschreven.[4]

GalerijBewerken

Zie ookBewerken

LiteratuurBewerken

  • Nouwen (Robert), De Gallo-Romeinse pentagon-dodecaëder: mythe en enigma, Hasselt, 1993
  • Nouwen (Robert), Les dodécaèdres gallo-romains ajourés et bouletés. Histoire et problèmes, in BIAL, 106, 1994, p. 85-108

Externe linksBewerken

ReferentiesBewerken

  1. Nouwen (Robert), De Gallo-Romeinse pentagon-dodecaëder: mythe en enigma, Hasselt, 1993
  2. Hypothese functie dodecaëder
  3. Has The Roman Dodecahedron Mystery Been Solved?
  4. Exploratorium: Dodecaëder
  Zie de categorie Dodecahedra van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.