Formule van Euler voor veelvlakken

De formule van Euler voor veelvlakken legt een verband tussen het aantal hoekpunten , het aantal ribben en het aantal zijvlakken van een ruimtelijke figuur, waarvan de vlakken veelhoeken zijn. Er geldt:

Met andere woorden: de euler-karakteristiek van het oppervlak van een niet-zelfdoorsnijdend niet-samengesteld veelvlak is 2. Voorwaarde is dat dit oppervlak topologisch gelijkwaardig is met dat van een bol (als het veelvlak hol is moet het binnenoppervlak buiten beschouwing worden gelaten, en het veelvlak mag bijvoorbeeld niet topologisch ringvormig zijn, en niet bestaan uit twee veelvlakken die slechts met één gemeenschappelijk hoekpunt of met één gemeenschappelijke ribbe verbonden zijn) en dat elk zijvlak topologisch gelijkwaardig is met een cirkelschijf (dus bij bijvoorbeeld een kleine kubus midden op een zijvlak van een grote kubus moet het topologisch ringvormige zijvlak dat zo ontstaat aangepast worden. Dit kan al met één extra ribbe (dat er bij de ribbe geen knik zit in het oppervlak is geen bezwaar). Omdat het een topologische eigenschap is maakt vervorming niet uit. De formule geldt dus ook bij kromme "ribben" en "zijvlakken" (waaronder bolvormige veelvlakken). Daarmee heeft elk veelvlak een duaal "veelvlak", met zijvlakken en hoekpunten verwisseld, en gelijkblijvend aantal ribben. Dit is in lijn met het feit dat en in de formule verwisselbaar zijn.

Deze gelijkheid werd in de 18e eeuw ontdekt door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler.

De gelijkheid geldt bijvoorbeeld voor de regelmatige veelvlakken:

Naam Afbeelding Hoekpunten
Ribben
Zijvlakken
Euler-karakteristiek:
Viervlak Tetrahedron.png 4 6 4 2
Kubus Hexahedron.png 8 12 6 2
Octaëder Octahedron.png 6 12 8 2
Dodecaëder Dodecahedron.png 20 30 12 2
Icosaëder Icosahedron.png 12 30 20 2

Bij elk veelvlak geldt dat gelijk is aan het aantal hoekpunt-ribbe-combinaties met het hoekpunt op de ribbe, en tevens aan het aantal zijvlak-ribbe-combinaties waarbij de ribbe een zijde van het zijvlak is.

Met het aantal hoekpunten waar ribben samenkomen (anders gezegd: het aantal hoekpunten met valentie of het aantal -valente hoekpunten), en het aantal zijvlakken met hoekpunten, geldt dus:

Hieruit volgt eenvoudig dat bij een veelvlak met geen andere zijvlakken dan driehoeken en met alleen 5- en 6-valente hoekpunten, het aantal 5-valente hoekpunten altijd 12 is.[1] Met voldoende driehoeken kunnen dergelijke veelvlakken de bolvorm goed benaderen (geodetische bol).

Daarmee geldt ook de duale eigenschap dat bij alle veelvlakken met geen andere zijvlakken dan vijfhoeken en/of zeshoeken en met alleen 3-valente hoekpunten, het aantal vijfhoeken altijd 12 is. Met voldoende zijvlakken kunnen ook deze veelvlakken de bolvorm goed benaderen (goldbergveelvlak).[2]

Algemener:

Bij een veelvlak met geen andere zijvlakken dan driehoeken is het tekort aan valentie vergeleken met 6 voor alle hoekpunten samen 12 (een teveel is een negatief tekort).

Duaal: bij een veelvlak met alleen 3-valente hoekpunten is het tekort aan hoeken vergeleken met 6 voor alle zijvlakken samen 12.

Externe linksBewerken