Geheel getal van Eisenstein

Een geheel getal van Eisenstein, genoemd naar Ferdinand Eisenstein, is in de wiskunde een complex getal van de vorm

De gehele getallen van Eisenstein vormen een driehoekig rooster in het complexe vlak; en zijn twee voorbeelden van gehele getallen van Eisenstein.

waarin en gehele getallen zijn en

een complexe eenheidswortel is. De gehele getallen van Eisenstein vormen een driehoekig rooster in het complexe vlak, in tegenstelling tot de gehele getallen van Gauss, die een vierkant rooster in het complexe vlak vormen.

Ze worden gebruikt bij het formuleren van de kubische reciprociteit.

EigenschappenBewerken

De gehele getallen van Eisenstein vormen een commutatieve ring van algebraïsche gehele getallen in het algebraïsche getallenlichaam  . Om in te zien dat de gehele getallen van Eisenstein algebraïsche gehele getallen zijn, dient te worden opgemerkt dat   een wortel is van de monische veelterm

 

Tevens is vast te stellen dat   voldoet aan de vergelijking

 

De norm   van een geheel getal van Eisenstein is het kwadraat van de absolute waarde, en wordt dus gegeven door

 ,

immers:

 

De norm van een geheel getal van Eisenstein is een geheel getal.

De eenhedengroep in de ring van gehele getallen van Eisenstein is de cyclische groep die wordt voortgebracht door de zesde eenheidswortel in het complexe vlak. De groep bestaat uit de elementen  . Het betreft juist de gehele getallen van Eisenstein met norm 1.

Euclidisch domeinBewerken

De ring van de gehele getallen van Eisenstein is een euclidisch domein met als norm  .

WebsitesBewerken