Cirkelprobleem van Gauss

In de wiskunde is het cirkelprobleem van Gauss de vraag naar het aantal punten op een rooster dat binnen een cirkel ligt met straal en de oorsprong als middelpunt.[1] Het probleem is genoemd naar Carl Friedrich Gauss, die als eerste met een oplossing kwam.

Noem deze waarde . Het is in te zien dat , ongeveer gelijk aan de oppervlakte van de cirkel.

Probleemstelling bewerken

Beschouw een cirkel in   met het middelpunt in de oorsprong en straal  . Het gaat erom het aantal punten   te berekenen met coördinaten  , dat binnen deze cirkel ligt en waarvan   en   beide gehele getallen zijn. De vergelijking van deze cirkel in cartesiaanse coördinaten is:

 ,

zodat de vraag dezelfde is als hoeveel paren gehele getallen   er zijn waarvoor

 

Voor bijvoorbeeld   liggen de 13 paren   binnen de cirkel.

Voor   zijn de gevraagde aantallen  :

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317[2]

Formule bewerken

De waarde van   kan door verschillende reeksen worden gegeven, bijvoorbeeld met behulp van de entier:[3]

 

Een eenvoudiger formule maakt gebruik van het aantal manieren   om   te schrijven als de som van twee kwadraten. Dan is:[4]

 

met

 

waarin   het aantal getallen is waar   door kan worden gedeeld en die modulo 4 congruent zijn met 1 en   het aantal getallen is waar   door kan worden gedeeld die modulo 4 congruent zijn met 3.