Multiplicatieve functie

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een multiplicatieve functie een rekenkundige functie $f$ gedefinieerd op de positieve gehele getallen met de eigenschappen:

$f(1)=1$

en

$f(ab)=f(a)f(b)$ voor $a$ en $b$ die relatief priem zijn.

Van een rekenkundige functie $f$ zegt men dat deze volledig multiplicatief of totaal multiplicatief is, als tevens geldt dat $f(ab)=f(a)f(b)$ voor alle positieve gehele getallen $a$ en $b$.

Voorbeelden

• $\varphi (n)$, de indicator of het totiënt, het aantal positieve gehele getallen die relatief priem zijn met, maar niet groter dan, $n$
• $\mu$, de möbiusfunctie, verbonden aan het aantal priemfactoren van kwadraatvrij gehele getallen
• $\mathrm {ggd} (n,k)$, de grootste gemene deler van $n$ en $k$ voor een vaste waarde van $k$
• $d(n)$, het aantal positieve delers van $n$
• $\sigma (n)$, de som van alle positieve delers van $n$. Deze functie hangt samen met de aliquotsom $s(n)$ van $n$.
• $\sigma _{k}(n)$, de delingsfunctie, de som van de $k$-de machten van de positieve delers van $n$, waar $k$ een willekeurig complex getal kan zijn. In speciale gevallen is:
  • $\sigma _{0}(n)=d(n)$ en
  • $\sigma _{1}(n)=\sigma (n)$