Galoisgroep

wiskundige groep

In de galoistheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een galoisgroep een speciale groep die bij een lichaams/velduitbreiding hoort en bestaat uit de automorfismen daarvan die het lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch) zelf elementsgewijs invariant laten. De galoisgroep is een hulpmiddel waarmee lichaamsuitbreidingen onderzocht kunnen worden, doordat de deellichamen in een lichaamsuitbreiding in verband staan met bepaalde ondergroepen van de galoisgroep. De galoisgroep is genoemd naar de Franse wiskundige Évariste Galois die deze groepen als eerste beschreef.

Van historische betekenis was dat de klassieke vraag naar construeerbaarheid met passer en liniaal van bepaalde algebraïsche getallen daardoor kon worden geformuleerd in termen van de groepentheorie. Volgens de hoofdstelling van de algebra liggen alle nulpunten van een polynoom met reële coëfficiënten in het complexe vlak, zij vormen in het complexe vlak een lichaam (Nederlands) / veld (Belgisch) van algebraïsche getallen. De studie van de galoisgroepen van polynomen is begonnen met de studie van de lichaams/velduitbreidingen. De galoistheorie bestudeert welke groepen die de nulpunten van een polynoom permuteren, invariant laten.

DefinitieBewerken

De galoisgroep   van de lichaamsuitbreiding   (lees "  over  ") van het lichaam   is de groep van automorfismen van   die elk element van   op dat element zelf afbeelden. Dus

 

Een speciaal geval vormen de galoisgroepen die bij een polynoom horen. De galoisgroep van een polynoom   met coëfficiënten in het lichaam   is de galoisgroep   van een splijtlichaam   van   De galoisgroep van de polynoom   wordt genoteerd als   of   Men spreekt in dit verband eenvoudigweg van "de" galoisgroep omdat splijtlichamen de galoisgroep op isomorfie na eenduidig bepalen.

Bij iedere eindige groep   is een polynoom   te vinden, zodat   de galoisgroep van   is.

Omdat galoisgroepen vooral toepassing vinden, als de lichaamsuitbreiding een galoisuitbreiding is, wordt in de literatuur vaak alleen in dit geval van galoisgroep gesproken.

VoorbeeldenBewerken

De complexen getallen   vormen een lichaam en omvatten het lichaam van de reële getallen  . Dus is   een lichaamsuitbreiding. Aangezien   een vectorruimte is van dimensie 2 over  , is   een basis en is de graad van de uitbreiding   De galoisgroep bestaat uit twee elementen: de identiteit en de complexe conjugatie. De uitbreiding   is de uitbreiding van de polynoom   die de wortels   en   heeft. De identiteit beeldt elke wortel op zichzelf af, de complexe conjugatie verwisselt ze. De galoisgroep   is dus isomorf met de symmetriegroep  

De galoisuitbreiding van de polynoom   over de rationale getallen   is het splijtlichaam van   De wortels van   zijn   en   met   een 3e eenheidswortel. De galoisuitbreiding is dus het splijtlichaam van  :

 

en de galoisgroep   is isomorf met de symmetriegroep  

BerekeningBewerken

Omdat de nulpunten van een polynoom niet altijd in de coëfficiënten zijn uit te drukken, maar soms alleen numeriek kunnen worden bepaald, kan met behulp van deze definitie niet altijd de galoisgroep van een polynoom worden berekend. Een dergelijke methode, dus om de galoisgroep van een polynoom in de coëfficiënten uit te drukken, is er wel.[1] Voor het geval dat de nulpunten wel in de coëfficiënten zijn uit te drukken, geeft deze methode hetzelfde antwoord als dat met behulp van directe berekening zou zijn bepaald.

Deze methode is erop gebaseerd, dat de coëfficiënten van een polynoom   symmetrische functies in de coëfficiënten van   zijn.

VoetnotenBewerken

  1. (en) RP Stauduhar in Mathematics of Computation. The Determination of Galois Groups, oktober 1973. 27, 124