Hoofdmenu openen

De galoistheorie is een tak van de wiskunde, meer bepaald van de abstracte algebra. Ze is genoemd naar de Franse wiskundige Évariste Galois.

Galois ontwikkelde zijn theorie om nulpunten van polynomen te bestuderen. In haar oorspronkelijke vorm bestudeert de galoistheorie groepen van permutaties op de nulpunten van een polynoom, die de polynoom zelf invariant laten.

De moderne vorm van de galoistheorie is afkomstig van Richard Dedekind. In die vorm behandelt ze uitbreidingen van (commutatieve) lichamen door met ieder paar lichamen een (niet noodzakelijk commutatieve) groep te associëren, galoisgroep van over genaamd. De elementen van zijn de automorfismen van die de elementen van stuk voor stuk invariant laten. De hoofdstelling van de galoistheorie brengt stijgende ketens van lichamen in verband met dalende ketens van normaaldelers in een groep.

De galoistheorie wordt vaak gebruikt om aan te tonen dat sommige wiskundige problemen geen oplossing kunnen hebben, bijvoorbeeld de driedeling van de hoek met passer en liniaal, de kwadratuur van de cirkel en de algemene vijfdegraadsvergelijking.

DefinitieBewerken

Een algebraïsche uitbreiding   van een lichaam   noemt men een galois-uitbreiding van   als aan de volgende twee voorwaarden voldaan is:

  1. normaliteit:   is het splijtlichaam van een familie polynomen met coëfficiënten in   (in zekere zin is   het kleinste lichaam waarin de polynomen ontbonden kunnen worden in factoren van de eerste graad);
  2. separabiliteit:   wordt als uitbreiding van   voortgebracht door nulpunten van separabele polynomen. Een irreducibel polynoom is separabel als het geen factoren gemeenschappelijk heeft met zijn formele afgeleide. Als de lichamen in kwestie karakteristiek 0 hebben, is hieraan vanzelf voldaan.

Deze definitie is gelijkwaardig met de eis dat er een verzameling   van automorfismen van   bestaat, zodat   precies uit de fixpunten van   bestaat:

 

  kan worden opgevat als een vectorruimte over   Veronderstel dat   het splijtlichaam is van de polynoom  over   De dimensie van het splijtlichaam van  , die wordt genoteerd als   is een veelvoud van de graad van  

VoorbeeldenBewerken

  • Het lichaam   der complexe getallen is een galois-uitbreiding van het lichaam   der reële getallen.   is over   het splijtlichaam van de polynoom  . De Galoisgroep   is de groep   de cyclische groep van twee elementen. Het enige element behalve het neutrale element van deze groep is de afbeelding die ieder getal op zijn complex geconjugeerde afbeeldt.
  • Het lichaam   is de kleinste uitbreiding van de rationale getallen waarvan ook   element is.   is niet het splijtlichaam van de polynoom   want het bevat geen van de twee complexe nulpunten,   voldoet wel en is 6-dimensionaal over  

Hoofdstelling van de galoistheorieBewerken

Zij   een lichaam, en   een eindige groep die bestaat uit automorfismen van   Zij   het lichaam der elementen van   die door alle groepselementen invariant gelaten worden:

 

Beschouw voor ieder lichaam   tussen   en   de ondergroep   van   die bestaat uit de automorfismen die alle elementen van   invariant laten.

 

Beschouw voor elke ondergroep   van   het lichaam   dat bestaat uit alle elementen van   die door de groepselementen van   invariant gelaten worden.

 

Het verband tussen   en   bepaalt een bijectie tussen de verzameling deellichamen van   die   omvatten, en de verzameling ondergroepen van   Het verband tussen   en   bepaalt de omgekeerde bijectie.

Men kan bovendien aantonen dat   dan en slechts dan een normale uitbreiding is als   een normaaldeler is van  

Oneindige galoistheorie[1]Bewerken

Een deel van de theorie blijft gelden voor oneindig-dimensionale lichaamsuitbreidingen en oneindige groepen. Men gaat nog steeds uit van een algebraïsche uitbreiding die normaal en separabel is, maar die eventueel oneindig-dimensionaal is over het grondlichaam. De automorfismengroep wordt voorzien van een topologie, en men beperkt zich tot de studie van gesloten deelgroepen.

Er geldt dan een bijectie tussen de verzameling gesloten deelgroepen van de automorfismengroep en de verzameling tussenlichamen. De normaaldelers van de automorfismengroep komen overeen met de normale uitbreidingen van het grondlichaam.

De gehanteerde topologie wordt voortgebracht door alle nevenklassen van normaaldelers van de automorfismengroep met eindige index. In die topologie bestaat de sluiting van een deelgroep van de automorfismengroep uit de automorfismen die alle fixpunten van de gegeven deelgroep ongemoeid laten.